Metoda poartă numele matematicienilor Jørgen Pedersen Gram şi Erhard Schmidt , dar apare şi în lucrările lui Laplace şi Cauchy .
Definiţii şi propoziţii [ ] Fie V un spațiu prehilbertian .
Doi vectori
x
,
y
∈
V
{\displaystyle x, y \in V \!}
ortogonali dacă
⟨
x
,
y
⟩
=
0.
{\displaystyle \langle x, y \rangle =0. \!}
O submulţime
S
⊆
V
{\displaystyle S \subseteq V \!}
ortogonală dacă orice doi vectori diferiţi din S sunt ortogonali.
Vectorul
x
∈
V
{\displaystyle x \in V \!}
vectorul-unitate (vector unitar ) dacă
‖
x
‖
=
1.
{\displaystyle \|x\| =1. \!}
O submulţime
S
⊆
V
{\displaystyle S \subseteq V \!}
ortonormală dacă S este ortogonală şi conţine numai vectori unitari.
O submulţime
S
⊆
V
{\displaystyle S \subseteq V \!}
bază ortonormală a lui V dacă este o bază ordonată care este ortonormală.
Dacă S este o submulţime ortogonală a lui V ce conţine vectori nenuli, atunci S este liniar independentă .
Orice produs scalar definit pe un spaţiu finit dimensional admite o bază ortonormală.
Dacă
β
=
{
v
1
,
v
2
,
⋯
,
v
n
}
{\displaystyle \beta= \{ v_1, v_2, \cdots, v_n \} \!}
V , atunci pentru orice
x
∈
V
{\displaystyle x \in V \!}
x
∑
i
=
1
n
⟨
x
,
v
i
⟩
v
i
.
{\displaystyle x \sum_{i=1}^n \langle x, v_i \rangle v_i. \!}
unde
⟨
x
,
v
i
⟩
{\displaystyle \langle x, v_i \rangle \!}
coeficienţi Fourier .
Teoremă.
Fie V un spațiu prehilbertian şi
S
=
{
w
1
,
w
2
,
⋯
,
w
n
}
{\displaystyle S= \{ w_1, w_2, \cdots , w_n \} \!}
liniar independentă .
Definim
S
′
=
{
v
1
,
v
2
,
⋯
v
n
}
,
{\displaystyle S' = \{ v_1, v_2, \cdots v_n \}, \!}
v
1
=
w
1
{\displaystyle v_1=w_1 \!}
v
k
=
w
k
−
∑
j
=
1
k
−
1
⟨
w
k
,
v
j
⟩
‖
v
j
‖
2
v
j
{\displaystyle v_k= w_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac {\langle w_k, v_j \rangle}{\| v_j \|^2} v_j \!}
2
≤
k
≤
n
.
{\displaystyle 2 \le k \le n. \!}
Paşii algoritmului [ ] Se porneşte de la o bază arbitrară
{
u
1
,
u
2
,
⋯
,
u
n
}
.
{\displaystyle \{ u_1, u_2, \cdots , u_n \}. \!}
Fie
v
1
=
u
1
.
{\displaystyle v_1 =u_1. \!}
Se ia
v
2
=
u
2
−
p
r
W
1
u
2
=
u
2
−
⟨
u
2
,
v
1
⟩
‖
v
1
‖
2
v
1
,
{\displaystyle v_2 = u_2 - pr_{W_1}u_2= u_2 - \frac {\langle u_2, v_1 \rangle}{\| v_1 \|^2} v_1, \!}
W
1
{\displaystyle W_1 \!}
subspaţiul generat de
v
1
,
{\displaystyle v_1, \!}
p
r
W
1
u
2
{\displaystyle pr_{W_1}u_2 \!}
proiecţia ortogonală a lui
u
2
{\displaystyle u_2 \!}
W
1
.
{\displaystyle W_1. \!}
Fie
v
3
=
u
3
−
p
r
W
2
u
3
=
u
3
−
⟨
u
3
,
v
1
⟩
‖
v
1
‖
2
v
1
−
⟨
u
3
,
v
2
⟩
‖
v
2
‖
2
v
2
,
{\displaystyle v_3= u_3 - pr_{W_2}u_3 = u_3 - \frac{\langle u_3, v_1 \rangle}{\| v_1 \|^2} v_1 - \frac{\langle u_3, v_2 \rangle}{\| v_2 \|^2} v_2, \!}
W
2
{\displaystyle W_2 \!}
v
1
{\displaystyle v_1 \!}
v
2
.
{\displaystyle v_2. \!}
Se ia acum
v
4
=
u
4
−
p
r
W
3
u
4
=
u
4
−
⟨
u
4
,
v
1
⟩
‖
v
1
‖
2
v
1
−
⟨
u
4
,
v
2
⟩
‖
v
1
‖
2
v
2
−
⟨
u
4
,
v
3
⟩
‖
v
3
‖
2
v
3
,
{\displaystyle v_4 = u_4 - pr_{W_3}u_4 = u_4 - \frac{\langle u_4, v_1 \rangle}{\| v_1 \|^2} v_1 - \frac{\langle u_4, v_2 \rangle}{\| v_1 \|^2} v_2 - \frac{\langle u_4, v_3 \rangle}{\| v_3 \|^2} v_3, \!}
W
3
{\displaystyle W_3 \!}
v
1
,
v
2
{\displaystyle v_1, v_2 \!}
v
3
.
{\displaystyle v_3. \!}
⋮
{\displaystyle \vdots \!}
Procedeul se continuă până se ajunge la
v
n
.
{\displaystyle v_n. \!}
{
v
1
,
v
2
,
⋯
,
v
n
}
{\displaystyle \{ v_1, v_2, \cdots , v_n \} \!}
n vectori liniar independenţi în V şi care astfel formează o bază ortogonală a lui V .
Formula cu determinanţi [ ] Rezultatul procedeului Gram-Schmidt poate fi exprimat folosind determinanţi :
e
j
=
1
D
j
−
1
D
j
|
⟨
v
1
,
v
1
⟩
⟨
v
2
,
v
1
⟩
…
⟨
v
j
,
v
1
⟩
⟨
v
1
,
v
2
⟩
⟨
v
2
,
v
2
⟩
…
⟨
v
j
,
v
2
⟩
⋮
⋮
⋱
⋮
⟨
v
1
,
v
j
−
1
⟩
⟨
v
2
,
v
j
−
1
⟩
…
⟨
v
j
,
v
j
−
1
⟩
v
1
v
2
…
v
j
|
{\displaystyle \mathbf{e}_j = \frac{1}{\sqrt{D_{j-1} D_j}} \begin{vmatrix}
\langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_1 \rangle & \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_1 \rangle & \dots & \langle \mathbf{v}_j, \mathbf{v}_1 \rangle \\
\langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \rangle & \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_2 \rangle & \dots & \langle \mathbf{v}_j, \mathbf{v}_2 \rangle \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_{j-1} \rangle & \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_{j-1} \rangle & \dots &
\langle \mathbf{v}_j, \mathbf{v}_{j-1} \rangle \\
\mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \dots & \mathbf{v}_j \end{vmatrix} }
Vezi şi [ ] Resurse [ ] 
