atunci există cel puţin un punctc în intervalul deschis (a, b) (deci ) pentru care:
Consecinţe[]
1) Dacă f'=0, atunci f constantă pe acel interval.2) Dacă f, g au deripe un interval atunci ele diferă pe acel interval doar printr-o constantă.
2) Dacă derivata unei funcţii este (strict) pozitivă (respectiv negativă) pe un interval, atunci funcţia este (strict) crescătoare (respectiv descrescătoare) pe acel interval:
este crescătoare pe E;
este descrescătoare pe E;
este strict crescătoare pe E;
este strict descrescătoare pe E,
unde s-a considerat E fiind interval închis.
3) Fie E interval închis şi
Dacă f este continuă în şi derivabilă pe şi există limita
atunci f admite derivată în şi avem:
Mai mult, dacă atunci f este derivabilă în şi:
Aplicaţii[]
1) Să se studieze aplicabilitatea teoremei lui Lagrange în cazul funcţiei:
Nu s-a putut interpreta (funcție „\begin{cases}” necunoscută): {\displaystyle f: [1, 3] \rightarrow \mathbb R, \; f(x) = \begin{cases} x, & daca \; 1 \le x \le 2 \\ \frac{x^4}{ & daca \; 2 < x \le 3 \end{cases} \!}
Soluţie:
Verificăm continuitate funcţiei:
Verificăm derivabilitatea:
În punctul x=2 avem:
Am obţinut:
deci funcţia este derivabilă şi atunci se poate aplica teorema lui Lagrange:
se disting două cazuri:
cazul 1: dacă imposibil
cazul 2: dacă
2) Să se demonstreze inegalitatea:
Soluţie.
Aplicăm teorema lui Lagrange funcţiei pe intervalul