Plan tangent la o suprafață

12.2.1. Suprafeţe parametrizate. să considerăm că $\Sigma = Im \; r, \!$ unde

$r: D \subseteq \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^3, \; r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), \!$

este o suprafaţă parametrizată simplă şi să considerăm că

$c: I \subseteq \mathbb R \rightarrow D \subseteq \mathbb R^2, \; c(t) = (u(t, v(t)), \!$

este o curbă plană parametrizată.

DEFINIŢIA 12.2.1

Curba în spaţiu

$\tilde c : I \subseteq \mathbb R \rightarrow \Sigma \subseteq \mathbb R^3, \; \tilde c (t) = (r \circ c ) (t) = r(u(t), v(t)), \!$

se numeşte ridicata urbei $c \!$ pe suprafaţa $\Sigma \!$ sau, pe scurt, curbă pe $\Sigma. \!$

OBSERVAŢIA 12.2.1. Orice curbă pe $\Sigma \!$

$\tilde c : I \subseteq \mathbb R \rightarrow \Sigma \subseteq \mathbb R^3 \!$

este ridicata unei unice curbe plane

$c: I \subseteq \mathbb R \rightarrow D \subseteq \mathbb R^2, \; c(t) = (u(t), v(t)). \!$

Această curbă plană este definită de relaţia

$c= (r|_{Im \; \tilde c})^{-1} \circ \tilde c. \!$

$\!$

Să considerăm acum că

$P_0= r(u_0, v_0) = (x(u_0, v_0), y(u_0, v_0), z(u_0, v_0)) \!$

este un punct arbitrar pe suprafaţa $\Sigma = Im \; r. \!$

DEFINIŢIA 12.2.2. Un vector liber $w \in V_3 \!$ se numeşte vector tangent în punctul $P_0 = r(u_0, v_0) \!$ la suprafaţa $\Sigma = Im \; r \!$ dacă există o curbă pe $\Sigma \!$ definită prin

$\tilde c : (-\epsilon, \epsilon) \subseteq \mathbb R \rightarrow \Sigma \subseteq\mathbb R^3, \; \tilde c (t) = r(u(t), v(t)), \!$

unde $\epsilon >0, \!$ astfel încât

$\tilde c(0) = r(u_0, v_0) = P_0 \!$ şi $\tilde c(0) = w. \!$

TEOREMA 12.2.1.

Vezi şi

• Normală la o suprafaţă
• Tangentă la o curbă

Resurse

• Geometrie superioară (p. 243) (copie la Wikia)
• Tangent Planes