Fie spaţiul vectorial n-dimensional.
Spunem că vectorii sunt ortogonali dacă produsul scalar al acestora este nul.
Observaţie.
Vectorul nul este ortogonal faţă de orice vector.
Deoarece:
rezultă:
Teoremă. (Teorema lui Pitagora pentru spaţii vectoriale)
Doi vectori sunt ortogonali dacă şi numai dacă:
Definiţie.
O familie de vectori se numeşte liberă dacă implică
Teoremă.
O familie liberă de vectori din în care nu sunt toţi nuli şi care sunt ortogonali doi câte doi, este o familie liberă.
Demonstraţie.
Considerăm scalarii şi combinaţia liniară:
Presupunem că rezultatul este vectorul nul şi să înmulţim scalar suma cu vectorul pentru i de la 1 la n.
Utilizând biliniaritatea produsului scalar:
Cum însă vectorul este ortogonal faţă de toţi ceilalţi:
Dar nu este vectorul nul, deci lungimea sa nu este nulă.
Rezultă
Vezi şi[]
Resurse[]