Numărul e

Leonhard Euler Dreapta lui Euler‎‎ Cercul lui Euler Ecuația Cauchy–Euler Numărul lui Euler Constanta lui Euler Caracteristica Euler Teorema lui Euler (geometrie) Teorema lui Euler (teoria numerelor) Funcția lui Euler Formula lui Euler Formula lui Euler (mecanică) Metoda Euler Integrala Euler-Poisson Formula Euler-Maclaurin Produsul lui Euler Integrală Euler Unghiurile lui Euler Inegalitatea lui Euler Relația lui Euler pentru patrulatere

Proprietăţi generale ale funcţiei $f(x)=a^{x}\!$

De la dreapta la stânga sunt redate graficele următoarelor funcţii exponenţiale: $f(x)=a^{x}\!$ cu a=1,5, a=2, a=e($\approx \!$ 2,71828), a=3, a=4.

• Se consideră $a\in (0,+\infty )\!$ deoarece pentru $a < 0\!$ şi $x\in (-1,+1)\!$ nu este definită expresia $a^{x}\!$ în mulţimea $\mathbb R. \!$

Astfel, pentru $a=-2\!$ şi $x={\frac {1}{2}},\;a^{x}=-2^{\frac {1}{2}}={\sqrt {-2}}\!$ care nu există pe $\mathbb {R} !\!$

• De asemenea, se va considera $a>1 \!$ deoarece, pentru $0<a<1,\!$ graficul obţinut este simetricul faţă de axa Oy al celui ce corespunde lui $-a.\!$

Aceasta deoarece $a^{x}={\frac {1}{a^{-x}}}.\!$

Observaţii.

• Toate graficele funcţiilor exponenţiale intersectează axa Oy în $S(0,1).\!$

• Pentru $a>1,\!$ partea negativă a axei Ox este asimptotă orizontală. (pentru a<1, partea pozitivă)

Într-adevăr, pentru $a>1 \!$ avem:

$x\rightarrow \infty \Rightarrow \;a^{x}\rightarrow \infty .\!$

Pentru $x\rightarrow -\infty \!$ avem $a^{x}\rightarrow 0.\!$

Cu alte cuvinte:

$\lim _{x\to -\infty }a^{x}=\lim _{-x\to \infty }a^{x}=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{a^{-x}}}.\!$

Obţinerea funcţiei $f(x)=a^{x}\!$

Proprietăţi esenţiale ale funcţiei $f(x) = e^x \!$

Vezi şi

• Numărul pi

Resurse

• Eulerian Numbers
• Simple Proof that e is Irrational
• A Proof that e is Irrational
• Proof of the Infinite Series That Calculates 'e'