Mica teoremă a lui Fermat

Pierre Fermat

Numele ei provine de la Pierre Fermat. Nu trebuie confundată cu marea teoremă a lui Fermat.

Enunţ

Teoremă. Dacă p este un număr prim şi a un număr întreg oarecare (poate fi chiar divizibil cu p!) atunci:

$a^p \equiv a \; (mod \; p). \!$

Dacă p nu divide a, avem altă variantă a teoremei:

$a^{p-1} \equiv 1 \; (mod \; p). \!$

Demonstraţie

Fie p un număr prim şi a un număr întreg prim cu p (adică un număr care nu este multiplu de p). Considerăm primii (p-1) multipli ai lui a şi resturile împărţirii lor prin p:

$a, 2a, 3a, \cdots , (p-1)a, \; \; \; r_1, r_2, r_3, \cdots , r_{p-1}. \!$

Conform teoremei 1 de la Teoria numerelor, aceste resturi sunt diferite între ele şi diferite de zero, deci sunt numerele $1, 2, \cdots , p-1 \!$ aşezate eventual într-o altă ordine.

Avem deci:

$a = \mathcal M p +r_1, \; 2a = \mathcal Mp+ r_2, \cdots , (p-1)a = \mathcal Mp +r_{p-1}. \!$

Înmulţind aceste egalităţi membru cu membru. Avem:

$( \mathcal M p +r_1)(\mathcal Mp+ r_2) = \mathcal Mp + r_1 \cdot r_2 \!$

căci prin înmulţire obţinem patru membri, din care trei sunt multipli de p.

Mai departe:

$( \mathcal M p +r_1 \cdot r_2)(\mathcal Mp+ r_3) = \mathcal Mp + r_1 \cdot r_2 \cdot r_3. \!$

Astfel, prin inducţie se poate demonstra că:

$( \mathcal M p +r_1 )(\mathcal Mp+ r_2) \cdots (\mathcal Mp+ r_{p-1}) = \mathcal Mp + r_1 \cdot r_2 \cdot r_3 \cdot \cdots \cdot r_{p-1}. \!$

Deci:

$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (p-1) a^{p-1} = \mathcal Mp + r_1 r_2 \cdots r_{p-1}. \!$

Numerele $r_1, r_2, \cdots r_{p-1} \!$ fiind numerele $1, 2, \cdots p-1 \!$ aşezate eventual în altă ordine, produsul lor $r_1 \cdot r_2 \cdot \cdots \cdot r_{p-1} \!$ este egal $1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot (p-1). \!$

Obţinem:

$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (p-1) a^{p-1} = \mathcal Mp + 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (p-1) \!$

adică:

$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (p-1) (a^{p-1} -1) = \mathcal Mp. \!$

Dar produsul $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (p-1) \!$ nu se divide prin p căci acesta este prim. Astfel teorema lui Fermat este demonstrată.

Observaţie

Există valori ale lui a pentru care o putere a lui a cu exponent mai mic decât p-1 este congruentă cu 1. Deoarece şirul resturilor date de puterile lui a se repetă după ce întâlnim restul 1 (teorema 1 de la Teoria numerelor) şi deoarece $a^{p-1} \!$ dă restul 1, se vede că primul rest nu poate apărea decât la un exponent care este divizor al lui p-1. Se deduce propoziţia:

Dacă $a^{\delta} \equiv 1 \; (mod \; p) \!$ (notaţiile sunt aceleaşi) atunci $\delta | p-1. \!$

Vezi şi

• Teorema lui Euler, care este o generalizare a teoremei lui Fermat

Resurse

• Mathepedia.de
• MATH-abundance
• One Curious Proof of Fermat Little Theorem
• Maths.tcd.ie