Pierre Fermat

Numele ei provine de la Pierre Fermat. Nu trebuie confundată cu marea teoremă a lui Fermat.

Enunţ[modificare | modificare sursă]

Teoremă. Dacă p este un număr prim şi a un număr întreg oarecare (poate fi chiar divizibil cu p!) atunci:


Dacă p nu divide a, avem altă variantă a teoremei:

Demonstraţie[modificare | modificare sursă]

Fie p un număr prim şi a un număr întreg prim cu p (adică un număr care nu este multiplu de p). Considerăm primii (p-1) multipli ai lui a şi resturile împărţirii lor prin p:

Conform teoremei 1 de la Teoria numerelor, aceste resturi sunt diferite între ele şi diferite de zero, deci sunt numerele aşezate eventual într-o altă ordine.

Avem deci:

Înmulţind aceste egalităţi membru cu membru. Avem:

căci prin înmulţire obţinem patru membri, din care trei sunt multipli de p.

Mai departe:

Astfel, prin inducţie se poate demonstra că:

Deci:

Numerele fiind numerele aşezate eventual în altă ordine, produsul lor este egal

Obţinem:

adică:

Dar produsul nu se divide prin p căci acesta este prim. Astfel teorema lui Fermat este demonstrată.

Observaţie[modificare | modificare sursă]

Există valori ale lui a pentru care o putere a lui a cu exponent mai mic decât p-1 este congruentă cu 1. Deoarece şirul resturilor date de puterile lui a se repetă după ce întâlnim restul 1 (teorema 1 de la Teoria numerelor) şi deoarece dă restul 1, se vede că primul rest nu poate apărea decât la un exponent care este divizor al lui p-1. Se deduce propoziţia:


Dacă (notaţiile sunt aceleaşi) atunci

Vezi şi[modificare | modificare sursă]

Resurse[modificare | modificare sursă]

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.