Legea fluxului electric

Legea fluxului electric este o lege de stare, generală din cadrul teoriei clasice (Maxwell - Hertz) asupra electromagnetismului. Se exprimă în formele integrală şi diferenţială (locală).

Forma integrală

Forma integrală a legii se referă la fluxul electric într-o suprafaţă închisă S situată într-un câmp electric (fig. 1) şi are enunţul:

Fluxul electric prin orice suprafaţă închisă $\Sigma, \!$ aşezată în câmpul electromagnetic, având orice formă şi orice poziţie, în oricare moment este egal cu suma algebrică a sarcinilor electrice adevărate ce aparţin corpurilor din interiorul supafeţei:

${\;}_{\underset {S}{\grave {O}}}{\vec {D}}d{\vec {s}}=Q\!$

unde $Q=\sum _{k}Q_{k}.\!$   (1)

Sarcinile electrice din exteriorul suprafeţei închise nu modifică fluxul electric prin suprafaţa S. Dacă $Q=0,\!$ atunci legea devine:

$\int _{\Sigma }{\vec {D}}d{\vec {s}}=0.\!$   (2)

Fig. 1. Schiţă explicativă pentru legea fluxului electric.

Forma diferenţială (locală)

Forma locală a acestei legi se poate obţine din forma integrală (1). În acest sens, admitem că volumul $v_{\Sigma }\!$ delimitat de $\Sigma \!$ este un domeniu de continuitate pentru câmpul de vectori ${\vec {D}},\!$ deci că nu există suprafeţe, linii sau puncte unde s-ar găsi sarcini electrice adevărate, care ar cauza discontinuităţi pentru $\vec D. \!$ Într-un astfel de domeniu pot exista numai sarcini electrice volumetrice cu densitatea $\rho _{V},\!$ încât:

$Q={\;}_{\underset {S}{\grave {O}}}r_{v}dv\!$   (3)

În aceste condiţii se poate realiza transformarea de integrală de tip Gauss-Ostrogradski:

$\int _{\Sigma }{\vec {D}}d{\vec {s}}=\int _{v_{\Sigma }}div{\vec {D}}d{\vec {v}}\!$   (4)

Înlocuind relaţiile (3) şi (4) în (1) şi renunţând la operaţia de inegrare, rezultă forma diferenţială (locală) a legii::

$div{\vec {D}}=r_{V}\!$   (5)

cu următorul enunţ:

Divergenţa volumetrică a vectorului câmp ${\vec {D}},\!$ calculată în oricare punct al unui domeniu de continuitate, este egală cu densitatea volumetrică a sarcinii electrice adevărate din acel punct.

Dacă în domeniul de volum $v_{\Sigma}, \!$ există suprafeţe încărcate cu sarcini electrice de densitate $\rho _{s}\!$ (fig. 2), în puncte ale unei astfel de suprafeţe $div{\vec {D}}=\infty \!$ şi, în consecinţă, se operează cu divergenţa superficială:

$div_{s}{\vec {D}}=r_{s}\!$   (6)

Fig. 2. Suprafaţă încărcată cu sarcini electrice adevărate

Considerând că ${\vec {D}}_{1}\!$ şi ${\vec {D}}_{2}\!$ sunt inducţiile electrice în puncte foarte apropiate de o parte şi de alta a suprafeţei $S_{12}\!$ (fig. 2), atunci:

$div_{s}{\vec {D}}={\vec {n}}_{12}\times (D_{2}-D_{1})=-D_{1n}+D_{2n},\!$   (7)

unde $n_{12}\!$ este versorul normal la suprafaţă, iar $D_{1n}={\vec {n}}_{12}{\vec {D}}_{1}\!$ şi $D_{2n}={\vec {n}}_{12}{\vec {D}}_{2}\!$ sunt valorile componentelor normale la aceeaşi suprafaţă ale inducţiei electrice.

Rezultă:

$D_{2n}-D_{1n}=r_{s}\!$   (8)

sau

$\varepsilon _{1}\left({\frac {\partial V}{\partial n}}\right)_{1}-\varepsilon _{2}\left({\frac {\partial V}{\partial n}}\right)_{2}=\rho _{s}\!$   (9)

unde:

${\frac {\P V}{\P n}}=E_{n}\!$   (10)

şi

$D_{n}=eE_{n}.\!$   (11)

Aşadar, pentru $\rho _{s}\neq 0,\!$ componentele inducţiei electrice, normale la suprafaţa $S_{12},\!$ sunt discontinui, $D_{1n}{}^{1}D_{2n}\!$ (nu se conservă), iar pentru $\rho _{s}=0\!$ aceste componente sunt continui, $D_{1n}=D_{2n}\!$ (se conservă).

Vezi şi

• Legea lui Gauss