Inegalitatea lui Jensen

O rafinare a inegalităţii lui Jensen

Fie $a, b \in \mathbb R, \!$ cu $a<b. \!$ Avem următoarele propoziţii:

Propoziţia 1 (de tip Fermat). Fie $f: [a, b] \rightarrow \mathbb R \!$ o funcție dată. Dacă $x_0 \in [a, b) \!$ este un punct de maxim local (respectiv de minim local) al funcţiei f şi f are derivată la dreapta în $\bar {\mathbb R} \!$ în punctul $x_0, \!$ atunci:

$f'_+(x_0) \le 0 \!$ (respectiv $f'_+(x_0) \ge 0 \!$).

Propoziţia 2 (de tip Rolle). Dacă $f: [a, b] \rightarrow \mathbb R \!$ este o funcție continuă pe $[a, b], \!$ care are derivată la dreapta în $\bar {\mathbb R} \!$ pe $[a, b) \!$ şi $f(a) = f(b), \!$ atunci există $c_1, c_2 \in [a, b), \!$ astfel încât:

$f'_+ (c_1) \le 0 \le f'_+(c_2). \!$

Resurse

• Curs (copie la Wikia)
• RecreatiiMatematice.ro