Bine ordonată
O mulțime ordonată A se numeşte bine ordonată dacă orice submulţime nevidă a sa are prim element . Complet ordonată
O mulțime ordonată A se numeşte complet ordonată dacă orice submulţime nevidă şi majorată a sa are supremum . Convexă (mulțime
∼
{\displaystyle \sim \!}
Fie A o mulțime ordonată şi
X
⊆
A
.
{\displaystyle X \subseteq A. \!}
X se numeşte convexă dacă pentru orice
x
,
y
∈
X
{\displaystyle x, y \in X \!}
a
∈
A
{\displaystyle a \in A \!}
x
≤
a
≤
y
{\displaystyle x \le a \le y \!}
a
∈
X
.
{\displaystyle a \in X. \!}
Infimum
Fie A o mulțime ordonată şi
X
⊆
A
,
X
≠
∅
.
{\displaystyle X \subseteq A, \; X \neq \varnothing. \!}
X are cel mai mare element
a
∈
A
,
{\displaystyle a \in A, \!}
a se numeşte infimumul mulţimii X şi se notează
i
n
f
A
.
{\displaystyle inf \; A. \!}
Majorant
Fie A o mulțime ordonată şi
X
⊆
A
.
{\displaystyle X \subseteq A. \!}
a
∈
A
{\displaystyle a \in A \!}
majorant al mulţimii X dacă:
x
≤
a
∀
x
∈
X
.
{\displaystyle x \le a \; \forall x \in X. \!}
Majorată (mulțime
∼
{\displaystyle \sim \!}
Fie A o mulțime ordonată şi
X
⊆
A
.
{\displaystyle X \subseteq A. \!}
X se numeşte majorată dacă:
∃
x
∈
X
{\displaystyle \exists x \in X \! }
x
≥
a
∀
a
∈
A
{\displaystyle x \ge a \; \forall a \in A \!}
Maximal (element
∼
{\displaystyle \sim \!}
Elementul a al mulţimii ordonate A se numeşte element maximal dacă
x
∈
A
{\displaystyle x \in A \!}
x
≥
a
{\displaystyle x \ge a \!}
x
=
a
.
{\displaystyle x=a. \!}
Minimal (element
∼
{\displaystyle \sim \!}
Elementul a al mulţimii ordonate A se numeşte element maximal dacă
x
∈
A
{\displaystyle x \in A \!}
x
≤
a
{\displaystyle x \le a \!}
x
=
a
.
{\displaystyle x=a. \!}
Minorant
Fie A o mulțime ordonată şi
X
⊆
A
.
{\displaystyle X \subseteq A. \!}
a
∈
A
{\displaystyle a \in A \!}
minorant al mulţimii X dacă:
x
≥
a
∀
x
∈
X
.
{\displaystyle x \ge a \; \forall x \in X. \!}
Minorată (mulțime
∼
{\displaystyle \sim \!}
Fie A o mulțime ordonată şi
B
⊆
A
.
{\displaystyle B \subseteq A. \!}
X se numeşte minorată dacă:
∃
x
∈
X
{\displaystyle \exists x \in X \! }
x
≤
a
∀
a
∈
A
{\displaystyle x \le a \; \forall a \in A \!}
Mulțime ordonată Mulțimea A se numeşte ordonată dacă pe acesta s-a definit o relație de ordine .Predecesor
Fie A o mulțime ordonată . Elementul
y
∈
A
{\displaystyle y \in A \!}
predecesorul lui
x
∈
A
{\displaystyle x \in A \!}
y
<
x
{\displaystyle y<x \!}
y
≤
z
<
x
{\displaystyle y \le z < x \!}
y
=
z
.
{\displaystyle y=z. \!}
Prim element
Fie A o mulțime ordonată . Elementul
a
∈
A
{\displaystyle a \in A \!}
prim element dacă
x
≥
a
∀
x
∈
A
.
{\displaystyle x \ge a \; \forall x \in A. \!}
Relație de ordine O relaţie binară
R
{\displaystyle \mathcal R \!}
A este o relaţie de ordine parţială dacă are următoarele proprietăţi:
R
{\displaystyle \mathcal R \!}
R
{\displaystyle \mathcal R \!}
R
{\displaystyle \mathcal R \!}
R
{\displaystyle \mathcal R \!}
1 .
(
x
,
x
)
∈
R
∀
x
∈
A
.
{\displaystyle (x, x) \in \mathcal R \; \forall x \in A. \!}
2 .
(
x
,
y
)
∈
R
∧
(
y
,
z
)
∈
R
⇒
(
x
,
z
)
∈
R
.
{\displaystyle (x, y) \in \mathcal R \; \land \; (y, z) \in \mathcal R \; \Rightarrow \; (x, z) \in \mathcal R. \!}
3 .
(
x
,
y
)
∈
R
∧
(
y
,
x
)
∈
R
⇒
x
=
y
.
{\displaystyle (x, y) \in \mathcal R \; \land \; (y, x) \in \mathcal R \; \Rightarrow \; x=y. \!}
Total ordonată
O mulțime ordonată A se numeşte total ordonată (sau liniar ordonată ) dacă:
∀
a
,
b
∈
A
⇒
a
≤
b
∨
a
≥
b
.
{\displaystyle \forall a, b \in A \; \Rightarrow \; a \le b \; \lor \; a \ge b. \!}
Succesor
Fie A o mulțime ordonată . Elementul
y
∈
A
{\displaystyle y \in A \!}
predecesorul lui
x
∈
A
{\displaystyle x \in A \!}
y
>
x
{\displaystyle y>x \!}
y
≥
z
>
x
{\displaystyle y \ge z > x \!}
y
=
z
.
{\displaystyle y=z. \!}
Supremum
Fie A o mulțime ordonată şi
X
⊆
A
,
X
≠
∅
.
{\displaystyle X \subseteq A, \; X \neq \varnothing. \!}
X are cel mai mic element
a
∈
A
,
{\displaystyle a \in A, \!}
a se numeşte supremumul mulţimii X şi se notează
s
u
p
A
.
{\displaystyle sup \; A. \!}
Ultim element
Fie A o mulțime ordonată . Elementul
a
∈
A
{\displaystyle a \in A \!}
ultim element dacă
x
≤
a
∀
x
∈
A
.
{\displaystyle x \le a \; \forall x \in A. \!}
