Diferențială implicită

Diferenţiala implicită este diferenţiala aplicată unei ecuaţii implicite luând în considerare una din variabile, celelalate fiind considerate ca funcţii de prima.

Exemple

1. Considerăm ecuaţia implicită:

$xy=1. \!$

Prin explicitare, devine:

$y = \frac 1 x. \!$

şi astfel putem efectua diferenţiala ca fiind:

$\frac{dy}{dx} = - \frac {1}{x^2}. \!$

Dar putem calcula şi diferenţiala implicită:

$\frac{d}{dx}[xy] =\frac{d}{dx} [1] \!$

$x \frac{dy}{dx} + y \frac{dx}{dx} =0 \!$

$x \frac{dy}{dx} +y=0 \!$

$\frac{dy}{dx}= -\frac y x. \!$

Înlocuind $y = \frac 1 x, \!$ obţinem acelaşi rezultat ca la diferenţiala explicită.

2. Determinaţi $y' \!$ prin diferenţiere implicită, unde:

$xy = \cot (xy) \!$

Soluţie. Prin diferenţiere implicită obţinem:

$y+xy' = -\csc (xy)^2 (y+xy') \!$

Rezolvăm după $y' \!$

$\left ( \csc (xy)^2 +1 \right ) (y + xy') =0 \!$

$\left ( \csc (xy)^2 +1 \right ) y =-xy' \left ( \csc (xy)^2 +1 \right ) \!$

$y' = \frac{\left ( \csc (xy)^2 +1 \right ) \cdot y}{\left ( \csc (xy)^2 +1 \right ) \cdot (-x)} \!$

Putem efectua reducerea prin $\csc (xy)^2 +1 \!$ deoarece acesta este pozitiv.

$y' = -\frac y x. \!$

3. Stabiliţi ecuaţia tangentei la elipsa de ecuaţie:

$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} =1 \!$

şi care trece prin punctul $\left ( 1, \frac{3 \sqrt 3}{2} \right ) \!$

Soluţie. Prin diferenţiere obţinem:

$\frac{2x}{4}+ \frac{2yy'}{9} =0 \!$

$y' = - \frac{9}{4} \cdot \frac{x}{y} \!$

Panta tangentei prin punctul dat:

$-\frac 9 4 \frac{1}{\frac{3 \sqrt 3}{2}} =- \frac 12 \sqrt 3 \!$

Având în vedere formula $y-y_1 = m(x-x_1) \!$ şi substituind, obţinem:

$y - \frac{3 \sqrt 3}{2} = - \frac 1 2 \sqrt 3 \cdot (x-1) \!$

Obţinem:

$y = -\frac{3 \sqrt 3}{2} x + 2 \sqrt 3. \!$

3. Să se determine tangenta care trece prin punctul $(1, 0) \!$ la concoida lui Nicomede, de ecuație implicită:

$x^2y^2 = (x+1)^2 \cdot (4-x^2). \!$

Soluţie. Diferenţiind ambii membri ai ecuaţiei, obţinem:

$2xy^2 + 2x^2y \frac{dy}{dx} = 2 (x+1) (4-x^2) + (x+1)^2 (-2x) \!$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2(x+1) (4-x^2) + (x+1)^2 (-2x) - 2xy^2}{2x^2y} = \frac{6x- 4x^3 +8 - 6x^2 -2xy^2}{2x^2y} \!$

Dacă punem $x=1, y=0, \!$ obţinem:

$\frac{6x- 4x^3 +8 - 6x^2 -2xy^2}{2x^2y} = \frac 0 0 \!$

Asemeni cercului alăturat care este descris prin două funcţii:

• semicercul roşu: $y= \sqrt {1-x^2} \!$
• semicercul albastru: $y= - \sqrt {1-x^2} \!$

în mod similar pentru concoidă avem două ramuri:

• ramura roşie: $y = \frac{(x+1)\sqrt {4-x^2}}{x} \!$
• ramura albastră: $y =- \frac{(x+1)\sqrt {4-x^2}}{x} \!$

Considerăm ramura roşie:

$y'(x) = \frac{x \left [ (x+1) \frac{-2x}{2 \sqrt {4-x^2}} + \sqrt {4-x^2} \right ] - (x+1) \sqrt {4-x^2}}{x^2} \!$

$y'(x) = \frac{-1-x}{\sqrt {4-x^2}} - \frac {\sqrt {4-x^2}}{x^2} \!$

$y'(x) = -1 \sqrt 3 \!$

Pentru cealaltă ramură, obţinem acelaşi rezultat dar cu semn opus.

Deci cele două tangente sunt:

$T_1(x) = - \sqrt 3 x -\sqrt 3 \; \; T_1(x) = \sqrt 3 x +\sqrt 3. \!$

Resurse

• Math.Dartmouth.edu
• Wolfram MathWorld
• SOSMath.com