Mișcare în câmp central de forțe

Problema celor două corpuri

Ne propunem determinarea ecuaţiilor de mişcare pentru două corpuri de mase $m_1 \!$ şi $m_2 \!$ care interacţionează unul cu altul prin intermediul unui câmp central de forţă.:

${\vec {F}}=f(r)\cdot {\hat {r}}=-{\frac {\partial U}{\partial r}}\cdot {\hat {r}};\!$   (1)

${\hat {r}}={\frac {\vec {r}}{r}}={\frac {r_{1}-r_{2}}{|r_{1}-r_{2}|}};\!$   (2)

${\vec {r}}={\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}.\!$   (3)

Poziţia centrului de masă (CM):

${\vec {R}}={\frac {m_{1}{\vec {r}}_{1}+m_{2}{\vec {r}}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\!$   (4)

Exprimăm vectorii $r_1 \!$ şi $r_2 \!$ ca funcţii de $\vec r \!$ şi ${\vec {R}}:\!$

$\left.{\begin{matrix}{\vec {r}}={\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}\\{\frac {(m_{1}+m_{2})\cdot {\vec {R}}}{m_{2}}}={\frac {m_{1}}{m_{2}}}{\vec {r}}_{1}+r_{2}\end{matrix}}\right\}\;\Rightarrow \;{\vec {r}}_{1}={\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\left({\vec {r}}+{\frac {(m_{1}+m_{2}){\vec {R}}}{m_{2}}}\right)\!$   (5)

$\mu _{pozitron}={\frac {m_{e}\cdot m_{e}}{(m_{e}+m_{e})}}={\frac {m_{e}}{2}}\!$
$m(p)\gg m(e^{+})\!$
$\mu _{hidrogen}={\frac {m_{p}m_{e}}{(m_{p}+m_{e})}}\approx m_{e}\!$

${\vec {r}}_{1}={\vec {R}}+{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}{\vec {r}}\!$   (6)

${\vec {r}}_{2}={\vec {R}}-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}{\vec {r}}\!$   (7)

Funcţia Lagrange pentru sistem devine:

$L={\frac {1}{2}}m_{1}{\dot {r}}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}{\dot {r}}_{2}^{2}-U(r)=\!$   (8)

deci

$L={\frac {m_{1}}{2}}\left({\dot {\vec {R}}}+{\frac {m_{2}}{M}}{\dot {\vec {r}}}\right)^{2}+{\frac {m_{2}}{2}}\left({\dot {\vec {R}}}-{\frac {m_{1}}{M}}{\dot {\vec {r}}}\right)^{2}-U(r)\!$   (9)

unde $M = m_1+m_2 \!$

notând: $\mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\!$   (10) (masa redusă a sistemului)

Rezultă:

$L={\frac {1}{2}}M{\dot {R}}^{2}+{\frac {1}{2}}\mu {\dot {r}}^{2}-U(r).\!$   (11)

Aceleaşi rezultate obţinem alegând CM ca noua origine a sistemului.

${\vec {r}}'_{1}={\vec {r}}_{1}-{\vec {R}}\!$   (12)

${\vec {r}}'_{2}={\vec {r}}_{2}-{\vec {R}}\!$   (13)

Conform teoremei lui König:

$m_{1}{\vec {r}}'_{1}+m_{2}{\vec {r}}'_{2}=0.\!$   (14)

Notând: $M=m_{1}+m_{2}\;\;{\vec {r}}={\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}={\vec {r}}'_{1}-{\vec {r}}'_{2}.\!$   (15)

${\vec {r}}'_{1}={\frac {m_{2}}{M}}{\vec {r}}\;\;{\vec {r}}'_{2}={\frac {m_{1}}{M}}{\vec {r}}\!$   (16)

$L={\frac {1}{2}}MV_{CM}^{2}+{\frac {1}{2}}\mu {\dot {r}}^{2}-U(r)\!$   (17)

${\frac {1}{2}}M{\dot {R}}^{2}+{\frac {1}{2}}\mu {\dot {r}}^{2}-U(r)\!$   (18)

a) $\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {R}}}}=M{\dot {R}}\\\\{\frac {\partial L}{\partial R}}=0\end{matrix}}\right\}\;\Rightarrow \;{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial l}{\partial {\dot {R}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial R}}=0\;\Rightarrow \;M{\ddot {R}}=0\;\Rightarrow \;M{\dot {R}}=const\!$   (19)

$\left.{\begin{matrix}M{\dot {R}}=M\left({\frac {m_{1}{\dot {r}}_{1}+m_{2}{\dot {r}}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)=m_{1}{\dot {r}}_{1}+m_{2}{\dot {r}}_{2}=p_{1}+p_{2}\\\\M{\dot {R}}=p_{Total}\end{matrix}}\right\}\;\Rightarrow \;p_{Total}=p_{1}+p_{2}\!$   (20)

Deci impulsul total se conservă.

b) $\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}=\mu {\dot {r}}\\\\{\frac {\partial L}{\partial r}}=-{\frac {\partial U}{\partial r}}{\frac {r}{r}}=-{\frac {\partial U}{\partial r}}{\hat {r}}\end{matrix}}\right\}\;\Rightarrow \;{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial r}}=0\;\Rightarrow \;\mu {\ddot {r}}+{\frac {\partial U}{\partial r}}{\hat {r}}=0\!$   (21)

Concluzii

• Mişcarea a două puncte materiale care interacţionează între ele se reduce la problema mişcării unui punct de masă $\mu \!$ într-un câmp exterior.
• Observăm că a) şi b) nu sunt cuplate şi deci mişcarea $\mathbf {CM} R(t)\!$ este decuplată de mişcarea relativă $\mathbf {r} (t).\!$
• Putem ignora mişcarea $\mathbf {CM} R(t).\!$

Sistemul câmpului central de forţe are simetrie sferică.

$\Rightarrow \!$

Se poate roti în jurul oricărei axe care trece prin origine.

$\Rightarrow \!$

Simetrie rotaţională:

• Lagragianul nu depinde de direcţie:

$L=T({\dot {r}}^{2})-U(r)\!$   (22)

$\Rightarrow \!$

Momentul unghiular se conservă:

$L=r\times p=const.\!$   (23)

${\vec {L}}\cdot {\vec {r}}=({\vec {r}}\times {\vec {p}})\cdot {\vec {r}}=0\!$   (24)

${\vec {r}}\perp {\vec {L}}\!$   (25)

$\Rightarrow \!$

• Traiectoria $\vec r(t) \!$ este conţinută în întregime într-un plan ortogonal cu ${\vec {L}}.\!$

$\Rightarrow \!$

• Putem parametriza traiectoria $\vec r(t) \!$ în coordonate polare:

${\dot {\vec {r}}}=r{\hat {e}}+r{\dot {\varphi }}{\hat {e}}_{\theta }\!$   (26)

Lagrangianul în coordonate polare va fi:

$L={\frac {1}{2}}\mu ({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2})-U(r)\!$   (27)

Observăm că $\varphi \!$ este coordonată ciclică, momentul sau conjugat $p_{\varphi }\!$ se va conserva:

$p_{\varphi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}=\mu r^{2}{\dot {\varphi }}\equiv l\!$   (28) (mărimea momentului unghiular)

Introducem noţiunea de viteză areolară

Legea a II-a a lui Kepler:

Vectorul de poziţie al unei planete mătură arii egale în intervale de timp egale.

${\mathit {d}}A={\frac {1}{2}}{\vec {r}}({\vec {r}}{\mathit {d}}\varphi )={\frac {1}{2}}r^{2}{\mathit {d}}\varphi \!$   (29)

Rezultă viteza areolară:

${\frac {{\mathit {d}}A}{{\mathit {d}}t}}={\frac {1}{2}}r^{2}\varphi ={\frac {1}{2}}{\frac {l}{\mu }}=const.\!$   (30)

Mişcarea planetei este mai rapidă când orbita este mai apropiată de origine.

Stabilim ecuaţia Lagrange:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}=0\;\Rightarrow \;\mu {\ddot {r}}-\mu r{\dot {\varphi }}^{2}+{\frac {\partial U}{\partial r}}=0\!$   (31)

unde

$\mu r{\dot {\varphi }}^{2}\!$   (32)

este forţa centrifugă, iar

${\frac {\partial U}{\partial r}}\!$   (33)

este forţa centrală.

Dar ${\dot {\varphi }}={\frac {l}{\mu r^{2}}}\!$   (33)

deci

$\mu {\ddot {r}}-{\frac {l^{2}}{\mu r^{3}}}+{\frac {\partial U}{\partial r}}=0\!$   (34)

însă ${\ddot {r}}={\frac {d{\dot {r}}}{dt}}={\frac {d{\dot {r}}}{dr}}{\frac {dr}{dt}}={\frac {d{\dot {r}}}{dr}}{\dot {r}}\!$   (35)

$\mu {\frac {d{\dot {r}}}{dr}}{\dot {r}}={\frac {l^{2}}{\mu r^{3}}}-{\frac {\partial U}{\partial r}}\!$   (36)

$\int \mu {\dot {r}}d{\dot {r}}=\int \left({\frac {l^{2}}{\mu r^{3}}}-{\frac {\partial U}{\partial r}}\right){\mathit {d}}r\;\Rightarrow \;{\frac {1}{2}}\mu {\dot {r}}^{2}=-{\frac {1}{2}}{\frac {l^{2}}{\mu r^{2}}}-U(r)+E\!$   (37)

unde E este constanta de integrare:

$E={\frac {1}{2}}\mu {\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {l^{2}}{\mu r^{2}}}+U(r)\!$   (38)

unde: $U_{ef}(r)={\frac {1}{2}}{\frac {l^{2}}{\mu r^{2}}}+U(r).\!$   (39)

Conservarea energiei:

$E=T+U(r)={\frac {1}{2}}\mu ({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2})+U(r)\sim r(t)\!$   (40)

Din ecuaţia Lagrange:

$\mu {\ddot {r}}-{\frac {l^{2}}{\mu r^{3}}}+{\frac {\partial U}{\partial r}}=0\;\Rightarrow \;\mu {\ddot {r}}=-{\frac {d}{dr}}\left[U(r)+{\frac {1}{2}}{\frac {l^{2}}{\mu r^{2}}}\right]\!$   (41)

Înmulţind cu ${\dot {r}}\!$ rezultă:

$\mu {\dot {r}}{\ddot {r}}=-{\dot {r}}{\frac {d}{dr}}\left[U(r)+{\frac {1}{2}}{\frac {l^{2}}{\mu r^{2}}}\right]\!$   (42)

deoarece:

$\mu {\ddot {r}}{\dot {r}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\mu {\dot {r}}^{2}\right)\;\;-{\dot {r}}{\frac {d}{dr}}=-{\frac {dr}{dt}}{\frac {d}{dr}}=-{\frac {d}{dt}}\!$   (43)

$\Rightarrow \;\;{\frac {d}{dt}}\left[{\frac {1}{2}}\mu {\dot {r}}^{2}+U(r)+{\frac {1}{2}}{\frac {l^{2}}{\mu r^{2}}}\right]=0.\!$   (44)

Astfel:

${\frac {1}{2}}\mu {\dot {r}}^{2}+U(r)+{\frac {1}{2}}{\frac {l^{2}}{\mu r^{2}}}=const\!$   (45)

deoarece: ${\frac {l^{2}}{2\mu r^{2}}}={\frac {\mu r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}}{2}}\;\;\Rightarrow \!$   (46)

$E=T+U(r)={\frac {1}{2}}\mu ({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2})+U(r)=const.\!$   (47)

Ecuaţia Lagrange devine:

$\mu {\ddot {r}}=-{\frac {\partial U_{ef}(r)}{\partial r}}\!$   (48)   (Mişcarea unei particule într-un potenţial efectiv)

Energia: $E={\frac {1}{2}}\mu {\dot {r}}^{2}+U_{ef}(r)\!$   (49)

$\Rightarrow \;\;{\dot {r}}={\frac {dr}{dt}}=\pm {\sqrt {{\frac {2}{\mu }}(E-U_{ef}(r))}}\;\;\Rightarrow \;\;t=\pm \int _{0}^{t}{\frac {dr}{\sqrt {{\frac {2}{\mu }}(E-U_{ef}(r))}}}+const\equiv r(t)\!$   (50)

${\dot {\varphi }}={\frac {l}{\mu r^{2}}}={\frac {d\varphi }{dt}}\;\;\Rightarrow \;\;\varphi (t)=\int _{0}^{t}{\frac {l}{\mu [r(t)]^{2}}}dt+\varphi _{0}\!$   (51)

Pentru valori date ale lui E şi l (mărimi care se conservă) căutăm $r(\varphi ):\!$   (52)

${\dot {r}}={\frac {dr}{d\varphi }}{\dot {\varphi }}={\frac {dr}{d\varphi }}{\frac {l}{\mu r^{2}}}=\pm {\sqrt {{\frac {2}{\mu }}(E-U_{ef})}}\;\;\Rightarrow \!$   (53)

$\Rightarrow \;\;\varphi =\pm \int _{r_{0}}^{r}{\frac {l}{r^{2}{\sqrt {2\mu (E-U_{ef})}}}}dr+const\equiv \varphi (r)\!$   (54)

Ecuaţia traiectoriei

${\dot {r}}\!$ are semnificaţie fizică dacă $E\geq U_{ef}(r)\!$ valorile lui r pentru care $E=U_{ef}(r)\!$ definesc limitele intervalului de valori permise în timpul mişcării punctul în care ${\dot {r}}=0\!$ = punct de întoarcere dacă $r_{min}\!$ este o rădăcină pozitivă a ecuaţiei $E=U_{ef}(r)\!$ şi sunt permise pentru r toate rădăcinile cuprinse între $(r_{min},\infty )\!$ şi dacă $r_{0}>r_{min},\!$ mişcarea particulei este nelimitată.	dacă ecuaţia $E=U_{ef}(r)\!$ are rădăcini distincte şi pozitive, $r_{min}<r_{max}\!$ şi dacă în intervalul $r\in [r_{min},r_{max}]\!$ este verificată inegalitatea $E\geq U_{ef}(r)\!$ atunci mişcarea este limitată. întreaga traiectorie este conţinută într-o coroană circulară	$\Delta \varphi =\pm \int _{r_{min}}^{r_{max}}{\frac {l}{r^{2}{\sqrt {2\mu (U-E_{ef})}}}}dr\!$   (55) $n\cdot \Delta \varphi =m\cdot 2\pi ;\;(n,m\geq 1)\!$   (56) $\Rightarrow \!$ $\Delta \varphi ={\frac {m}{n}}\cdot 2\pi \!$ Condiţia de "închidere" a traiectoriei (raza vectoara a punctului, după ce a efectuat m rotaţii complete, îşi va regăsi valoarea iniţială) $U(r)={\begin{cases}-{\frac {k}{r}}\\kr^{2}\end{cases}}\!$   (57)

Ecuaţia diferenţială a orbitei

Am găsit forma generală pentru $r=r(\varphi )\!$ sau $r=r(t)\!$ şi câteva constante E, l etc. şi căutăm $r=r(\varphi )\!$ eliminând parametrul timp, ceea ce înseamnă ecuaţia orbitei.

$\mu r^{2}{\dot {\varphi }}=l\!$   (58)

$\Rightarrow \!$

$\mu r^{2}{\frac {d\varphi }{dt}}=l\;\Rightarrow \;\mu r^{2}d\varphi ={\mathit {l}}dt\!$   (59)

$\Rightarrow \!$

${\frac {d}{dt}}={\frac {l}{\mu r^{2}}}\cdot {\frac {d}{d\varphi }}\!$   (60)

$\Rightarrow \!$

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}={\frac {l}{\mu r^{2}}}{\frac {d}{d\varphi }}\left({\frac {l}{\mu r^{2}}}{\frac {d}{d\varphi }}\right)\!$   (61)

Înlocuind în ecuaţia Lagrange $\mu {\ddot {r}}-{\frac {l^{2}}{\mu r^{3}}}=-{\frac {\partial U}{\partial r}}=f(r)\!$   (62)

$\Rightarrow \!$

${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{d\varphi }}\left({\frac {l}{\mu r^{2}}}{\frac {dr}{d\varphi }}\right)-{\frac {l^{2}}{\mu r^{3}}}=f(r).\!$   (63)

Însă ${\frac {1}{r^{2}}}\cdot {\frac {dr}{d\varphi }}=-{\frac {d}{d\varphi }}\left({\frac {1}{r}}\right)\!$   (64) şi introducând $u={\frac {1}{r}}\!$ rezultă:

${\frac {l^{2}u^{2}}{\mu }}\left({\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u\right)=-f({\frac {1}{u}})\!$   (65)

deoarece ${\frac {d}{du}}={\frac {dr}{d\varphi }}{\frac {d}{dr}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {d}{dv}}\!$ rezultă:

${\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u=-{\frac {\mu }{l^{2}}}{\frac {d}{du}}D\left({\frac {1}{u}}\right)\!$   (66)

(65) şi (66) sunt ecuaţiile diferenţiale ale orbitei (ecuaţia Binet) dacă se cunosc f sau U.

Pentru un potenţial oarecare

$d\varphi ={\frac {l{\mathit {dr}}}{\mu r^{2}{\sqrt {{\frac {2}{\mu }}(E-U_{ef}(r))}}}}={\frac {l{\mathit {dr}}}{\mu r^{2}{\sqrt {{\frac {2}{\mu }}\left(E-U(r)-{\frac {l^{2}}{2\mu r^{2}}}\right)}}}}\!$   (67)

$\Rightarrow \!$

$\varphi =\int _{r_{0}}^{r}{\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {{\frac {2\mu E}{l^{2}}}-{\frac {2\mu U}{l^{2}}}-{\frac {1}{r^{2}}}}}}}+\varphi _{0}\!$   (68)

(ecuaţie ce dă $\varphi \!$) ca funcţie de r şi constantele $E,l,r_{0}\!$

Făcând schimbarea de variabilă $u={\frac {1}{r}}\!$

$\Rightarrow \!$

$\varphi =\varphi _{0}-\int _{u_{0}}^{u}{\frac {du}{\sqrt {{\frac {2\mu E}{l^{2}}}-{\frac {2\mu U}{l^{2}}}-u^{2}}}}\!$   (69)

(ecuaţia formală a orbitei)

Problema lui Kepler

$f(r)=-{\frac {k}{r^{2}}}\;\Rightarrow \;U(r)=-{\frac {k}{r}}\!$   (70)

$U_{ef}=-{\frac {k}{r}}+{\frac {l^{2}}{2mr^{2}}}\!$   (71)

${\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u=-{\frac {m}{l^{2}u^{2}}}f\left({\frac {1}{u}}\right)\!$   (72)

${\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u=-{\frac {m}{l^{2}}}{\frac {d}{du}}U\left({\frac {1}{u}}\right)\!$   (73)

$\Rightarrow \!$

${\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u={\frac {mk}{l^{2}}}\!$   (74)

Facem schimbarea de variabilă $y=u-{\frac {mk}{l^{2}}}\!$

$\Rightarrow \!$

${\frac {d^{y}}{d\varphi ^{2}}}+y=0\!$   (75)

$\Rightarrow \!$

$y={\mathcal {C}}\cos(\varphi -\varphi ')\!$   (76)

(${\mathcal {C}},\varphi \!$ constante de integrare.)

Notăm: $\varepsilon ={\mathcal {C}}{\frac {l^{2}}{mk}}\!$   (77)

$\Rightarrow \!$

${\frac {1}{r}}={\frac {mk}{l^{2}}}[1+\varepsilon \cos(\varphi -\varphi ')]\!$   (78)

$\varphi =\varphi _{0}-\int {\frac {du}{\sqrt {{\frac {2mE}{l^{2}}}-frac{2mU}{l^{2}}-u^{2}}}}\!$   (79)

însă $\int {\frac {dx}{\sqrt {a+bx+cx^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {-c}}}\arccos \left[-{\frac {b+2x}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}\right]\;\;a={\frac {2mE}{l^{2}}};\;\;b={\frac {2mk}{l^{2}}};\;\;c=-1\!$   (80)

$\int d\varphi =-\int {\frac {du}{\sqrt {{\frac {2mE}{l^{2}}}+{\frac {2mku}{l^{2}}}-u^{2}}}}=-\int {\frac {du}{\sqrt {{\frac {2mE}{l^{2}}}+{\frac {m^{2}k^{2}}{l^{4}}}-\left({\frac {mk}{l^{2}}}-u^{2}\right)^{2}}}}=\!$   (81)

$=-{\frac {1}{\sqrt {{\frac {2mE}{l^{2}}}+{\frac {m^{2}k^{2}}{l^{4}}}}}}\cdot \int {\frac {du}{\sqrt {1-\left({\frac {{\frac {mk}{l^{2}}}-u}{\sqrt {{\frac {2mE}{l^{2}}}+{\frac {m^{2}k^{2}}{l^{4}}}}}}\right)^{2}}}}\!$   (82)

$=-\int {\frac {\sin \omega }{\sin \omega }}d\omega =-\omega \;\;\Rightarrow \;\;\cos \omega =\cos(\varphi -\varphi ')={\frac {{\frac {mk}{l^{2}}}-u}{\sqrt {{\frac {2mE}{l^{2}}}+{\frac {m^{2}k^{2}}{l^{4}}}}}}\!$   (83)

$\Rightarrow \!$

$\varphi =\varphi '-\arccos \left[{\frac {{\frac {l^{2}u}{mk}}-1}{\sqrt {1+{\frac {2El^{2}}{mk^{2}}}}}}\right]\!$   (84)

deoarece $u={\frac {1}{r}}\!$

$\Rightarrow \!$

$u={\frac {1}{r}}={\frac {mk}{l^{2}}}\left[1+{\sqrt {1+{\frac {2El^{2}}{mk^{2}}}}}\cos(\varphi -\varphi ')\right]={\frac {mk}{l^{2}}}[1+\varepsilon \cos(\varphi -\varphi ')]\!$   (85)

Ecuaţia generala a conicei ($\varepsilon\!$ fiind excentricitatea)

• $\varepsilon >1,\;E>0:\!$ hiperbola
• $\varepsilon =1,\;E=0:\!$ parabola
• $\varepsilon <1,\;E<0:\!$ elipsa
• $\varepsilon =0,\;E=-{\frac {mk^{2}}{2l^{2}}}:\!$ cerc.

Orbite mărginite

$E=E_{2}\;\Rightarrow \;r_{min}<r<r_{max}\!$

${\frac {1}{r}}={\frac {mk}{l^{2}}}(1\pm \varepsilon )\!$   (86)

• Lungimea axei mari: $a={\frac {l^{2}}{2mk}}\left({\frac {1}{1+\varepsilon }}+{\frac {1}{1-\varepsilon }}=-{\frac {k}{2E}}\right)\!$   (87)

• Lungimea axei mici: $b=a{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}={\sqrt {-{\frac {l^{2}}{2mE}}}}\!$   (88)

• Axa orbitei: $A=\pi ab=\pi {\sqrt {-{\frac {l^{2}k^{2}}{8mE^{3}}}}}\!$   (89)

• Viteza areolară: ${\frac {dA}{dt}}={\frac {1}{2}}r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}={\frac {1}{m}}\!$   (90)

• Perioada de rotaţie $T_{rot}={\frac {A}{\left({\frac {dA}{dt}}\right)}}=\pi {\sqrt {-{\frac {mk^{2}}{2E^{3}}}}}=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}a^{\frac {3}{2}}\!$   (91) (Legea a treia a lui Kepler)

dacă $f=-{\frac {k}{r^{2}}}=-G{\frac {Mm}{r^{2}}}\!$   (92)

Atunci $T_{rot}=2\pi {\sqrt {\frac {\mu }{k}}}a^{\frac {3}{2}}=\beta a^{\frac {3}{2}}\!$   (93)

unde $\beta =2\pi {\sqrt {\frac {1}{G(M+m)}}}\!$   (94) este acelaşi pentru toate planetele dacă $M \gg m$

---

Vezi şi

• Gravitație
• Mișcare în câmp gravitațional

Resurse

• Mişcare în câmp central de forţe (copie la Wikia)
• Cercetare.Forumgratuit.ro