Cosinuşii directori ai unei direcţii, având un anumit sens, sunt coordonatele vectorului unitar de pe acea direcţie şi având sensul ales.
Considerăm un vector
v
{\displaystyle \mathbf v \!}
a
,
b
,
c
{\displaystyle a, b, c \!}
coordonate .
Atunci cosinuşii directori sunt:
α
=
cos
a
=
v
⋅
x
^
|
v
|
{\displaystyle \alpha =\cos a={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {\hat {x}} }{|\mathbf {v} |}}\!}
β
=
cos
b
=
v
⋅
y
^
|
v
|
{\displaystyle \beta =\cos b={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {\hat {y}} }{|\mathbf {v} |}}\!}
(1)
γ
=
cos
c
=
v
⋅
z
^
|
v
|
.
{\displaystyle \gamma =\cos c={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {\hat {z}} }{|\mathbf {v} |}}.\!}
Direcţia oricărei drepte din spaţiu poate fi descrisă de un vector
v
{\displaystyle \mathbf v \!}
O , originea axelor de coordonate carteziene .
Dacă V este extremitatea vectorului, iar
l
,
m
,
n
{\displaystyle l,m,n\!}
l
2
+
m
2
+
n
2
=
1.
{\displaystyle l^{2}+m^{2}+n^{2}=1.\!}
(1)
l
,
m
,
n
,
{\displaystyle l,m,n,\!}
Avem următoarea proprietate:
λ
,
μ
,
ν
{\displaystyle \lambda ,\mu ,\nu \!}
l
,
m
,
n
{\displaystyle l,m,n\!}
Unghiul dintre două direcţii [ ] Aşadar, un triplet
l
,
m
,
n
{\displaystyle l,m,n\!}
l
′
,
m
′
,
n
′
{\displaystyle l',m',n'\!}
cos
χ
=
l
l
′
+
m
m
′
+
n
n
′
.
(
0
≤
χ
≤
π
)
{\displaystyle \cos \chi =ll'+mm'+nn'.\;\;(0\leq \chi \leq \pi )\!}
(2) Relaţia rezultă din definiţia produsului scalar .
O altă demonstraţie rezultă din formula pentru lungimea unui segment :
|
V
V
′
|
2
=
(
l
−
l
′
)
2
+
(
m
−
m
′
)
2
+
(
n
−
n
′
)
2
=
{\displaystyle |VV'|^{2}=(l-l')^{2}+(m-m')^{2}+(n-n')^{2}=\!}
=
2
−
2
(
l
l
′
+
m
m
′
+
n
n
′
)
{\displaystyle =2-2(ll'+mm'+nn')\!}
(3) S-a utilizat relaţia:
(
b
c
′
−
b
′
c
)
2
+
(
c
a
′
−
c
′
a
)
2
+
(
a
b
′
−
a
′
b
)
2
=
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
(
a
′
2
+
b
′
2
+
c
′
2
)
−
(
a
a
′
+
b
b
′
+
c
c
′
)
2
∀
a
,
b
,
c
∈
R
{\displaystyle (bc'-b'c)^{2}+(ca'-c'a)^{2}+(ab'-a'b)^{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a'^{2}+b'^{2}+c'^{2})-(aa'+bb'+cc')^{2}\forall a,b,c\in \mathbb {R} \!}
(4) triunghiul
O
V
V
′
{\displaystyle OVV'\!}
|
V
V
′
|
2
=
|
O
V
|
2
+
|
O
V
′
|
2
−
2
|
O
V
|
⋅
|
O
V
′
|
⋅
cos
χ
=
2
−
2
cos
χ
.
{\displaystyle |VV'|^{2}=|OV|^{2}+|OV'|^{2}-2|OV|\cdot |OV'|\cdot \cos \chi =2-2\cos \chi .\!}
(5)
Direcţiile
(
l
,
m
,
n
)
{\displaystyle (l,m,n)\!}
(
l
′
,
m
′
,
n
′
)
{\displaystyle (l',m',n')\!}
l
l
′
+
m
m
′
+
n
n
′
=
0.
{\displaystyle ll'+mm'+nn'=0.\!}
(6) Din (2) şi (4) rezultă:
sin
χ
=
±
(
m
n
′
−
m
′
n
)
2
+
(
n
l
′
−
n
′
l
)
2
+
(
l
m
′
−
l
′
m
)
2
{\displaystyle \sin \chi =\pm {\sqrt {(mn'-m'n)^{2}+(nl'-n'l)^{2}+(lm'-l'm)^{2}}}\!}
Dacă
ψ
{\displaystyle \psi \!}
(
λ
,
μ
,
ν
)
{\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )\!}
(
λ
′
,
μ
′
,
ν
′
)
,
{\displaystyle (\lambda ',\mu ',\nu '),\!}
cos
ψ
=
λ
λ
′
+
μ
μ
′
+
ν
ν
′
(
λ
2
+
μ
2
+
ν
2
)
(
λ
′
2
+
μ
′
2
+
ν
′
2
)
;
{\displaystyle \cos \psi ={\frac {\lambda \lambda '+\mu \mu '+\nu \nu '}{\sqrt {(\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2})(\lambda '^{2}+\mu '^{2}+\nu '^{2})}}};\!}
sin
ψ
=
(
μ
ν
′
−
μ
′
ν
)
2
+
(
ν
λ
′
−
ν
′
λ
)
2
+
(
λ
μ
′
−
λ
′
μ
)
2
(
λ
2
+
μ
2
+
ν
2
)
(
λ
′
2
+
μ
′
2
+
ν
′
2
)
.
{\displaystyle \sin \psi ={\sqrt {\frac {(\mu \nu '-\mu '\nu )^{2}+(\nu \lambda '-\nu '\lambda )^{2}+(\lambda \mu '-\lambda '\mu )^{2}}{(\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2})(\lambda '^{2}+\mu '^{2}+\nu '^{2})}}}.\!}
Proiecţia segmentului
P
1
P
2
{\displaystyle P_1 P_2 \!}
(
λ
,
μ
,
ν
)
{\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )\!}
λ
(
x
2
−
x
1
)
+
μ
(
y
2
−
y
1
)
+
ν
(
z
2
−
z
1
)
λ
2
+
μ
2
+
ν
2
.
{\displaystyle {\frac {\lambda (x_{2}-x_{1})+\mu (y_{2}-y_{1})+\nu (z_{2}-z_{1})}{\sqrt {\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}}}}.\!}
(
λ
,
μ
,
ν
)
{\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )\!}
(
λ
′
,
μ
′
,
ν
′
)
{\displaystyle (\lambda ',\mu ',\nu ')\!}
(
μ
ν
′
−
μ
′
ν
,
ν
λ
′
−
ν
′
λ
,
λ
μ
′
−
λ
′
μ
)
{\displaystyle (\mu \nu '-\mu '\nu ,\nu \lambda '-\nu '\lambda ,\lambda \mu '-\lambda '\mu )\!}
Iar dacă
χ
{\displaystyle \chi \!}
±
(
μ
ν
′
−
μ
′
ν
,
ν
λ
′
−
ν
′
λ
,
λ
μ
′
−
λ
′
μ
)
÷
sin
χ
.
{\displaystyle \pm (\mu \nu '-\mu '\nu ,\nu \lambda '-\nu '\lambda ,\lambda \mu '-\lambda '\mu )\div \sin \chi .\!}
Semnul plus se aplică în sensul în care avansează un burghiu drept ce se roteşte în sensul în care direcţia
(
λ
,
μ
,
ν
)
{\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )\!}
(
λ
′
,
μ
′
,
ν
′
)
.
{\displaystyle (\lambda ',\mu ',\nu ').\!}
Direcţiile
(
λ
1
,
μ
1
,
ν
1
)
,
(
λ
2
,
μ
2
,
ν
2
)
,
(
λ
3
,
μ
3
,
ν
3
)
{\displaystyle (\lambda _{1},\mu _{1},\nu _{1}),\;(\lambda _{2},\mu _{2},\nu _{2}),\;(\lambda _{3},\mu _{3},\nu _{3})\!}
plan dacă şi numai dacă:
|
λ
1
μ
1
ν
1
λ
2
μ
2
ν
2
λ
3
μ
3
ν
3
|
=
0.
{\displaystyle {\begin{vmatrix}\lambda _{1}&\mu _{1}&\nu _{1}\\\lambda _{2}&\mu _{2}&\nu _{2}\\\lambda _{3}&\mu _{3}&\nu _{3}\end{vmatrix}}=0.\!}
Resurse [ ] 
