Polinoamele lui Cebîșev de speța întâi reprezintă o mulțime de polinoame ortogonale definite ca fiind soluţiile ecuațiilor diferențiale de tip Cebîșev şi sunt notate
T
n
(
x
)
{\displaystyle T_n(x) \!}
sau
T
[
n
,
x
]
.
{\displaystyle T[n, x]. \!}
Sunt utilizate pentru aproximări în cadrul metodei celor mai mici pătrate şi constituie un caz special de polinoame Gegenbauer cu
α
=
0.
{\displaystyle \alpha=0. \!}
O altă utilizare a acestora o găsim în trigonometrie la calculul unghiului multiplu .
Polinoamele lui Cebîșev de speța întâi
T
n
(
z
)
{\displaystyle T_n (z) \!}
pot fi definite prin integrala curbilinie :
T
n
(
z
)
=
1
4
π
i
∮
(
1
−
t
2
)
t
−
n
−
1
1
−
2
t
z
+
t
2
d
t
,
{\displaystyle T_n(z) = \frac{1}{4 \pi i} \oint \frac{(1-t^2) t^{-n-1}}{1-2tz + t^2} dt, \!}
unde curba care înconjoară originea axelor este parcursă în sensul trigonometric (sensul invers al acelor de ceasornic).
Primele polinoame Cebîșev de speța întâi sunt:
Spirala Cebîșev care se obţine reprezentând
T
n
(
x
)
{\displaystyle T_n(x) \!}
radial şi crescând raza cu fiecare valoare a lui n .
T
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle T_0 (x) =1 \!}
T
1
(
x
)
=
x
{\displaystyle T_1 (x) =x \!}
T
2
(
x
)
=
2
x
2
−
1
{\displaystyle T_2 (x) =2x^2 - 1 \!}
T
3
(
x
)
=
4
x
3
−
3
x
{\displaystyle T_3 (x) =4x^3 - 3x \!}
T
4
(
x
)
=
8
x
4
−
8
x
2
+
1
{\displaystyle T_4 (x) =8x^4 - 8x^2 + 1 \!}
T
5
(
x
)
=
16
x
5
−
20
x
3
+
5
x
{\displaystyle T_5 (x) =16x^5 - 20x^3 + 5x \!}
T
6
(
x
)
=
32
x
6
−
48
x
4
+
18
x
2
−
1.
{\displaystyle T_6 (x) =32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1. \!}
Ordonând coeficienţii nenuli în sensul creşterii puterii , obţinem triunghiul acestora:
1; 1; , 2; , 4; 1, , 8; 5, , 16, ...[1]
Polinoamele lui Cebîșev de speța întâi pot fi definite şi prin identitatea:
T
n
(
cos
θ
)
=
cos
(
n
θ
)
.
{\displaystyle T_n(\cos \theta) = \cos (n \theta). \!}
Acestea mai pot fi obţinute şi cu ajutorul funcțiilor generatoare :
g
1
(
t
,
x
)
≡
1
−
t
2
1
−
2
x
t
+
t
2
=
T
0
(
x
)
+
2
∑
n
=
1
∞
T
n
(
x
)
t
n
.
{\displaystyle g_1 (t, x) \equiv \frac {1- t^2}{1-2x t + t^2} = T_0 (x) + 2 \sum_{n=1}^{\infty} T_n(x) t^n. \!}
şi
g
2
(
t
,
x
)
≡
1
−
x
t
1
−
2
x
t
+
t
2
=
∑
n
=
0
∞
T
n
(
x
)
t
n
.
{\displaystyle g_2(t, x) \equiv \frac{1- xt}{1- 2 xt + t^2} = \sum_{n=0}^{\infty} T_n(x) t^n. \!}
pentru
|
x
|
≤
1
{\displaystyle |x| \le 1 \!}
şi
|
t
|
<
1.
{\displaystyle |t| < 1. \!}
O reprezentare directă este dată de:
T
n
(
x
)
=
1
2
z
2
[
(
1
−
1
z
2
+
1
)
n
+
(
1
−
1
z
2
)
n
]
.
{\displaystyle T_n(x) = \frac 1 2 z^2 \left [ \left ( \sqrt {1- \frac {1}{z^2}} +1 \right )^n + \left ( \sqrt {1- \frac {1}{z^2}} \right )^n \right ]. \!}
În sfârşit, polinoamele mai pot fi definite şi cu ajutorul unor sume:
T
n
(
x
)
=
n
2
∑
r
=
0
⌊
n
/
2
⌋
(
−
1
)
r
n
−
r
(
n
−
r
r
)
(
2
x
)
n
−
2
r
=
{\displaystyle T_n(x) = \frac n 2 \sum_{r=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac {(-1)^r}{n-r} \binom {n-r}{r} (2x)^{n-2r}= \!}
=
cos
(
n
cos
−
1
x
)
=
∑
m
=
0
⌊
n
/
2
⌋
(
n
2
m
)
x
n
−
2
m
(
x
2
−
1
)
m
,
{\displaystyle = \cos (n \cos^{-1}x) = \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \binom{n}{2m} x^{n-2m} (x^2-1)^m, \!}
unde
(
n
k
)
{\displaystyle \binom nk \!}
este un coeficient binomial iar
⌊
x
⌋
{\displaystyle \lfloor x \rfloor \!}
este funcţia parte întreagă , sau prin produsul:
T
n
(
x
)
=
2
n
−
1
∏
k
=
1
n
{
x
−
cos
[
(
2
k
−
1
)
π
2
n
]
.
}
{\displaystyle T_n(x) = 2^{n-1} \prod_{k=1}^n \left \{ x- \cos \left [ \frac {(2k-1)\pi}{2n} \right ]. \right \} \!}
T
n
{\displaystyle T_n \!}
satisface ecuaţia cu determinanţi :
T
n
=
|
x
1
0
0
⋯
0
0
1
2
x
1
0
⋱
0
0
0
1
2
x
1
⋱
0
0
0
0
1
2
x
⋱
0
0
0
0
0
1
⋱
1
0
⋮
⋱
⋱
⋱
⋱
⋱
1
0
0
0
0
⋯
1
2
x
|
{\displaystyle T_n = \begin{vmatrix} x & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 2x & 1 & 0 & \ddots & 0 & 0 \\0 & 1 & 2x & 1 & \ddots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2x & \ddots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \ddots & 1 & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 2x \end{vmatrix} \!}
Polinoamele Cebîșev de speța întâi sunt cazuri speciale de polinoame Jacobi
P
n
(
α
,
β
)
{\displaystyle P_n^{(\alpha, \beta)} \!}
cu
α
=
β
=
−
1
2
,
{\displaystyle \alpha = \beta = - \frac 1 2, \!}
T
n
(
x
)
=
P
n
(
−
1
/
2
,
−
1
/
2
)
(
x
)
P
n
(
−
1
/
2
,
−
1
/
2
)
(
1
)
=
2
F
1
(
−
n
,
n
;
1
2
;
1
2
(
1
−
x
)
)
,
{\displaystyle T_n(x) = \frac {P_n^{(-1/2, -1/2)} (x)}{P_n^{(-1/2, -1/2)} (1)} = 2F_1 \left (-n, n ; \frac 1 2; \frac 1 2 (1-x) \right ), \!}
unde
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
x
)
{\displaystyle 2F_1 (a, b; c; x) \!}
este o funcție hipergeometrică .
Note [ ]
Vezi şi [ ]
Polinom Cebîșev de speța a doua
Aproximarea lui Cebîșev
Resurse [ ]