Ecuație diferențială liniară de ordinul n

O ecuație diferențială liniară neomogenă de ordinul n este o ecuație diferențială de forma:

$a_0(x) y^{(n)} +a_1(x) y^{(n-1)} + \cdots +a_{n-1}(x) y' + a_n(x) y = f(x), \; x \in I, \!$   (1)

unde $a_0, a_1, \cdots , a_n, \; \; f \!$ sunt funcții continue pe intervalul $I \subset \mathbb R \!$ și $a_0(x) \neq 0, \; \forall x \in I. \!$   (2)

Definiția 1.3.1. Spunem că o funcție $\phi : I \rightarrow \mathbb R \!$ este de clasă $\mathfrak C^{(p)} \!$ pe intervalul I­ dacă $\phi\!$ admite derivate până la ordinul p inclusiv și acestea sunt continue pe I.

Vom folosi notația $\phi \in \mathfrak C^{(p)} (I). \!$ De exemplu, $\phi \in \mathfrak C^{(0)} (I) \!$ dacă $\phi\!$ este continuă pe I, $\phi \in \mathfrak C^{(1)} (I) \!$ dacă există $\phi' \!$ și este continuă pe I etc.

Este evident că $\phi \in \mathfrak C^{(p)} (I). \!$ este un subspațiu vectorial al spațiului vectorial al funcțiilor reale definite pe I, pe care îl vom nota $\mathcal F (I, \mathbb R). \!$

Definiția 1.3.2. Se numește soluție a ecuației diferențiale (1) orice funcție $\phi \in \mathfrak C^{(p)} (I). \!$ care verifică ecuația, adică:

$a_0(x) \phi^{(n)} + a_1(x) \phi^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}(x) \phi' + a_n(x) \phi = f(x), \; x \in I . \!$

Dacă notăm cu D operatorul de derivare $\left ( D = \frac {d}{dx} \right ), \!$ cu $D^p, \; p \in \mathbb N^* \!$ operatorul de derivare de ordinul p, $D^p = {\underbrace {D \circ D \circ \cdots \circ D}}_{de\; n \; ori}= \frac {d^p}{dx^p}, \!$

cu $D^0 \!$ operatorul identitate $\left ( D^0 (\phi) = \phi, \forall \phi \in \mathfrak C^{(n)} (I)\right ) \!$ și cu

$L (D) = \sum_{k=0}^n {a_k (x) D^k} = a_0(x) D^n + a_1(x) D^{n-1} + \cdots + a_{n-1}(x)D + a_n(x) D^0, \; x \in I, \!$

atunci ecuațiile (1) și (2) se scriu pe scurt astfel:

$L(D)(y) = f(x), \; x \in I, \!$   (1’)

respectiv

$L (D)(y) = 0, \; x \in I. \!$   (2’)

Propoziția 1.3.1. Mulțimea S a soluțiilor ecuației omogene (2) este un subspațiu vectorial al spațiului de funcții $\mathcal F (I, \mathbb R). \!$

Demonstrație.

Vom arăta că $\forall y, z \in S \!$ și $\forall \lambda, \mu \in \mathbb R, \!$ rezultă că $\lambda y + \mu z \in S. \!$

Pentru început reamintim că operatorul de derivare D este liniar, adică are proprietatea: $D(\lambda y + \mu z) = \lambda D(y) + \mu D (z), \; \forall y, z \in \mathfrak C^{(n)}(I), \; \forall \lambda, \mu \in \mathbb R. \!$

Într-adevăr,

$D (\lambda y + \mu z) = \frac {d}{dx} (\lambda y + \mu z) = (\lambda y + \mu z)' = \lambda y' + \mu z' = \!$

$= \lambda \frac {dy}{dx} + \mu \frac {dz}{dx} = \lambda D (y) +\mu D (z). \!$

Observăm că operatorul de derivare de ordinul p este, de asemenea, liniar. Într-adevăr, de exemplu:

$D^2 (\lambda x + \mu y) = (D \circ D) (\lambda x + \mu y) = D [D (\lambda x + \mu y) ] = D [\lambda D(x) + \mu D (y)] = \!$

$= \lambda D [D(x)] + \mu D [D(y)] = \lambda D^2(x) + \mu D^2(y) \!$

etc.

În sfârșit, observăm că operatorul L(D) este liniar,

$L (D)(\lambda y + \mu z ) = \sum_{k=0}^n a_k (x) D^k (\lambda y + \mu z ) = \sum_{k=0}^n a_k (x) (\lambda D^k (y) + \mu D^k (z) ) = \!$

$= \lambda \sum{k=0}^n a_k (x) D^k(y) + \mu \sum{k=0}^n a_k (x) D^k(z) = \lambda L (D)(y) + \mu L (D)(z) \!$

Dacă $y,z \in S, \!$ atunci $L (D)(y) = 0 \!$ și $L (D)(z) = 0. \!$

În continuare, avem:

$L(D) (\lambda y +\mu z) = \lambda L (D)(y) + \mu L (D)(z)=0, \; \forall \lambda, \mu \in \mathbb R, \!$

deci $\lambda y + \mu z \in S. \!$ QED.

În spații de funcții există un aparat specific pentru studiul liniar dependenței (independenței). Acest aparat se bazează pe noțiunea de wronskian.

Definiția 1.3.3. Fie $f_1, f_2, \cdots , f_n : I \rightarrow \mathbb R, \!$ n funcții de clasă $\mathfrak C^{(n-1)} \!$ pe intervalul I. Se numește wronskian al acestor funcții, următoarea funcție:

$\mathcal W (x) = \mathcal W[f_1, f_2, \cdots , f_n] (x) = \begin{vmatrix} f_1(x) & \cdots & f_n(x) \\ f'_1(x) & \cdots & f'_n(x) \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ f_1^{(n)}(x) & \cdots & f^{(n-1)}_n (x) \end{vmatrix}.$

Propoziția 1.3.2. Fie $f_i \in \mathfrak C^{(n-1)} (I), \; i= \overline{1, n}. \!$ Dacă $f_1, f_2, \cdots , f_n \!$ sunt liniar dependente pe I, atunci $\mathcal W [f_1, f_2, \cdots , f_n](x) = 0, \; \forall x \in I. \!$

Demonstrație.

Prin ipoteză există n numere $\lambda_1, \lambda_2, \cdots , \lambda_n, \!$ nu toate nule, astfel încât

$\lambda_1 f_1 (x) + \lambda_2 f_2 (x)+ \cdots + \lambda_n f_n (x) =0 , \; \forall x \in I. \!$   (3)

Derivând succesiv relația (3) de (n −1) ori obținem:

$\begin{cases} \lambda_1 f_1(x) + \lambda_2 f_2(x) + \cdots + \lambda_n f_n(x) = 0 \\ \lambda_1 f'_1(x) + \lambda_2 f'_2(x) + \cdots + \lambda_n f'_n(x) = 0 \\ \cdots \; \; \cdots \cdots \cdots \; \; \cdots \\ \lambda_1 f_1(x) + \lambda_2 f_2(x) + \cdots + \lambda_n f_n(x) = 0 \end{cases}, \; \forall x \in I.$   (4)

Am obținut astfel sistemul (4), care este un sistem (algebric) liniar și omogen în necunoscutele $\lambda_1, \lambda_2, \cdots , \lambda_n. \!$ Deoarece sistemul admite soluție nebanală, rezultă că determinantul coeficienților este 0. Așadar avem:

$\mathcal W (x)= \begin{vmatrix} f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \\ f'_1(x) & f'_2(x) & \cdots & f'_n(x) \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ f_1^{(n-1)}(x) & f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x) \\ \end{vmatrix} =0, \; \forall x \in I. \!$

QED.

Propoziția 1.3.3.