Decagon

Decagonul este poligonul cu zece laturi.

Construcția unui decagon regulat înscris într-un cerc dat

Această problemă de geometrie face parte din categoria construcțiilor geometrice cu rigla și compasul.

Se dă: Un cerc de centru A şi de rază $[AB]. \!$

Se cere: Să se înscrie un decagon regulat în acest cerc.

Procedura:

• se împarte segmentul [AB] în secțiunea de aur astfel în $\frac {\overline{AB}}{\overline{AC}} = \frac {\overline{AC}}{\overline{CB}}. \!$
• se trasează cercul de centru B şi rază AC, care ca intersecta cercul dat într-un punct D
• BD este latura decagonului cerut.

Demonstraţie.

$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{BC} \!$

Rezultă:

$\frac{AB}{BD}=\frac{BD}{BC} \!$

Deci triunghiurile ABD şi DBC sunt asemenea (au câte un unghi congruent şi laturile care îl formează sunt asemenea).

Rezultă că triunghiul DBC este isoscel de unde obţinem:

$DB=DC=CA. \!$

De aici deducem:

$\angle {ABD} = \angle {ADB} \; \angle {ABD} = \angle {BCD} \; \angle {ADC} = \angle{BAD} \!$

Dar $\angle{BCD} = \angle {BAD}+\angle{ADC}. \!$

Din $\angle {BCD}= 2 \angle{BAD} \!$ şi $\angle {BDA}= 2 \angle{BAD} \!$ deducem:

$\angle{BAD} + 2 \angle{BAD} + 2 \angle{BAD} =180^{\circ}. \!$

Deci $\angle {BAD} = 36^{\circ}. \!$

Resurse

• Northern Virginia Community College