Curs analiză matematică

I. Preliminarii

1. Mulțimi, numere, structuri
1.1. Mulțimi
1.2. Numere reale
1.3. Structuri algebrice
1.4. Numere complexe
1.5. Analiză combinatorie

2. Sisteme de ecuații liniare
2.1. Determinanți
2.2. Matrice
2.3. Regula lui Cramer
2.4 Teorema lui Rouché

3. Funcții elementare
3.1. Polinomul
3.2. Funcția exponențială și logaritmică
3.3. Funcții trigonometrice
3.4. Funcții hiperbolice


II. Calculul diferențial

1. Șiruri și serii
1.1. Topologie pe R
1.2. Șiruri numerice
1.3. Serii de numere

2. Funcții: limite și continuitate
2.1. Definiția funcției
2.2. Limita unei funcții
2.3 Funcții continue

3. Derivate și diferențiale
3.1. Derivata: definiție, proprietăți
3.2. Diferențiala: definiție, proprietăți
3.3. Derivate de ordin superior
3.4. Proprietăți ale funcțiilor derivabile
3.5. Regula lui l'Hospital
3.6. Graficul unei funcții
3.7. Formula lui Taylor
3.8. Aproximarea rădăcinilor unei ecuații
3.9. Aplicații ale derivatelor în geometrie

4. Șiruri și serii de funcții
4.1. Șiruri de funcții
4.2. Serii de funcții
4.3. Seria Taylor
4.4. Serii de puteri

5. Funcții de mai multe variabile
5.1. Spațiul cu n dimensiuni
5.2. Șiruri în spațiul cu n dimensiuni
5.3. Funcții definite în spațiul cu n dimensiuni
5.4. Derivate parțiale
5.5. Formula lui Taylor pentru funcții cu mai multe variabile
5.6. Puncte de extrem pentru funcții cu mai multe variabile

6. Funcții implicite
6.1. Funcții implicite de una sau mai multe variabile
6.2. Sisteme de funcții implicite
6.3. Dependența funcțională
6.4. Puncte extreme pentru funcții implicite
6.5. Transformări punctuale

7. Schimbări de variabile
7.1. Schimbarea variabilelor independente
7.2. Schimbări de variabile și de funcții


III. Calculul integral

1. Integrale definite și nedefinite
1.1. Teoria măsurii
1.2. Integrala definită
1.3. Integrala nedefinită
1.4. Metode de integrare
1.5. Integrarea funcțiilor raționale
1.6. Integrale cu parametru
1.7. Integrarea seriilor de funcții
1.8. Metode aproximative de integrare
1.9. Aplicații ale integralelor

2. Extinderea noțiunii de integrală definită
2.1. Integrale cu limitele de integrare infinite
2.2. Integrale definite de funcții nemărginite
2.3. Integrale uniform convergente

3. Integrale curbilinii
3.1. Definiția integralei curbilinii
3.2. Aplicații ale integralei curbilinii

4. Integrale duble și de suprafață
4.1. Integrale duble
4.2. Integrale de suprafață
4.3. Aplicații ale integralelor duble și de suprafață

5. Integrale triple
5.1. Definiție și proprietăți ale integralei triple
5.2. Aplicații ale integralei triple



IV. Ecuații diferențiale

1. Ecuații diferențiale de ordinul întâi

2. Ecuații diferențiale de ordin superior

3. Sisteme de ecuații diferențiale

4. Ecuații cu derivate parțiale de ordinul întâi

---

Bibliografie

• Format:En icon Alan Jeffrey - Advanced Engineering Mathematics, Harcourt/Academic Press, 2002
• Format:Ro icon Gheorghe Atanasiu, Doina Tofan - Analiză matematică, Editura Universităţii "Transilvania", Braşov, 2008
• Format:Ro icon Mircea Olteanu - Analiză matematică, noţiuni teoretice şi probleme rezolvate
• Format:Ro icon Cătălin-Petru Nicolescu - Analiză matematică (Aplicaţii), Editura Albatros, Bucureşti, 1987
• Format:Fr icon Heinrich Matzinger - Aide-mémoire d'analyse

---

Partea I. Noţiuni introductive

• Capitolul 1. Mulțimi, numere, structuri
  • Mulțimi
  • Numere reale
  • Structuri algebrice
  • Numere complexe
  • [[Analiză_matematică/Analiză_combinatorie|Analiză combinatorie

• Capitolul 2. Sisteme de ecuații liniare
  • Determinanți
  • Matrice
  • Regula lui Cramer
  • Teorema lui Rouché

Partea II. Calculul diferențial

• Șiruri și serii
  • Topologie pe R
  • Șiruri numerice
  • Serii de numere

• Funcții: limite și continuitate
  • Definiția funcției
  • Limita unei funcții
  • Funcții continue

---

Numere reale

== Binomul lui Newton

Dacă $a,b\in \mathbb{R}$ şi $n \in \mathbb N^*,$ atunci:

$(a+b)^n = a^n + n a^{n-1} b + \frac {n(n-1)}{2!} a^{n-2} b^2 + \frac {n(n-1)(n-2)}{3!} a^{n-3}b^3 + \cdots b^n,$

sau, dacă definim coeficienţii binomiali: $C^k_n = \frac {n!}{k! (n-k)!},$

atunci se mai poate scrie:

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^n a^{n-k} b^k.$

Forma generalizată a binomului lui Newton:

Dacă $a,b\in \mathbb{R}$ astfel încât $|b/a|<1,$ iar $\alpha \in \mathbb R,$ atunci:

$(a+b)^{\alpha} = a^{\alpha} \left (1 + \frac ba \right )^{\alpha} =$

$= a^{\alpha} \left ( 1 + \frac {\alpha}{1!} \left ( \frac ba \right ) + \frac {\alpha (\alpha - 1)}{2! } \left ( \frac ba \right )^2 + \frac {\alpha (\alpha - 1)(\alpha - 2)}{3! } \left ( \frac ba \right )^3 + \cdots \right )$

Exemplu. Să se dezvolte $(3+x)^{- 1/2},$ stabilind acele valori ale lui $x$ pentru care seria obţinută este convergentă.

Soluţie.' Punând $\frac ba = \frac 13 x,$ se obţine:

$(3+x)^{- 1/2} = 3^{- 1/2} \left ( 1 + \frac 13 x \right )^{-1/2} = \frac {1}{ \sqrt 3 } \left ( 1 - \frac 16 x + \frac {1}{24} x^2 - \frac {5}{432} x^3 + \cdots \right )$

Seria converge dacă $|\frac 13 x|<1,$ echivalent cu $|x|<3.$

Șiruri numerice

Un şir de numere reale este o aplicaţie $x : \mathbb N \to \mathbb R$ şi se utilizează notaţia $x(n)=x_n, \; \forall n \in \mathbb N.$

Un şir $x_n$ se numeşte monoton dacă satisface una din proprietăţile:

• $x_n \le x_{n+1}, \; \forall n \in \mathbb N$ (şir crescător);
• $x_n \ge x_{n+1}, \; \forall n \in \mathbb N$ (şir descrescător).

Un şir $x_n$ se numeşte mărginit dacă există un $M \in \mathbb R_{+}^*$ astfel încât $|x_n| \le M, \; \forall n \in \mathbb N.$

Un şir real se numeşte convergent dacă există un $l \in \mathbb R,$ numit limita şirului, cu proprietatea:

$\forall \varepsilon >0, \; \exists n(\varepsilon ) \in \mathbb N \;$ astfel încât $|x_n - l| < \varepsilon, \; \forall n \ge n(\varepsilon )$

În acest caz, se notează:

$\lim_{n \to \infty} x_n = l.$

Serii de numere

Fie $x_n$ un şir de numere reale şi fie $s_n= \sum_{k=1}^n x_k$ şirul sumelor parţiale asociat. Seria $\sum_{n} x_n$ se numeşte convergentă dacă şirul $s_n$ este şir convergent. În acest caz, limita respectivă se va nota $\sum_{n} x_n.$

Proprietăţi generale

1. Dacă într-o serie se schimbă ordinea unui numări finit de termeni, se obţine o nouă serie de aceeaşi natură; dacă seria iniţială are sumă, atunci seria obţinută prin această schimbare are aceeaşi sumă.
2. Dacă la o serie se adaugă sau se scoate un număr finit de termeni, se obţine o nouă serie de aceeaşi natură; dar cu altă sumă, în cazul în care seria iniţială este convergentă.
3. Dacă seria $\sum_{n=1}^\infty u_n$ este convergentă, atunci pentru orice şir $(k_n)_n$ crescător, divergent, se numere naturale, seria:

$(u_1+u_2+ \cdots + u_{k_1}) + (u_{k_1+1} + \cdots + u_{k_2}) + \cdots + (u_{k_n+1} + \cdots + u_{k_{n+1}}) + \cdots$

este de asemenea convergentă şi are aceeaşi sumă; dacă seria $\sum_{n=1}^\infty u_n$ este divergentă, dar are sumă, atunci şi seria de mai sus este divergentă şi are aceeaşi sumă. Dacă există un şir $(k_n)_n$ astfel încât seria de mai sus să fie divergentă, atunci şi seria $\sum_{n=1}^\infty u_n$ este divergentă.

1. Dacă seria $\sum_{n=1}^\infty u_n$ este convergentă, şirul sumelor parţiale este mărginit.

1. Fie $\sum_{n=1}^\infty u_n$ o serie convergentă şi $\sum_{n=p+1}^{\infty} u_n$ seria convergentă obţinută prin înlăturarea primilor $p$ termeni.

Suma seriei $\sum_{n=p+1}^{\infty} u_n$ se notează cu $R_p$ şi se numeşte restul de ordin n al seriei $\sum_{n=1}^{\infty} u_n.$ Cu ajutorul acestei noţiuni se poate enunţa proprietatea: Resturile unei serii convergente formează un şir convergent către zero.

${\displaystyle }$

= Criteriul general al lui Cauchy

Fie $x_n$ un şir de numere reale; atunci seria $\sum_{n} x_n$ este convergentă dacă şi numai dacă $\forall \varepsilon >0, \exists n(\varepsilon) \in \mathbb N$ cu proprietatea:

$|x_{n+1} + x_{n+2} + \cdots + x_{n+p} | < \varepsilon, \; \forall n \ge n(\varepsilon), \; \forall p \in \mathbb N.$

Criteriul comparaţiei

Fie şirurile de termeni pozitivi $u_n, \; v_n$ cu proprietatea: $u_n \ge v_n \ge 0.$

a. Dacă seria $\sum_n u_n$ este convergentă, atunci şi seria $\sum_n v_n$ este convergentă.

b. Dacă seria $\sum_n v_n$ este convergentă, atunci şi seria $\sum_n u_n$ este convergentă.

Criteriul de comparaţie la limită

Fie două şiruri pozitive $u_n>0, \; v_n>0.$

a. Dacă $\lim_{n \ to \infty} \frac {u_n}{v_n}$ există şi este un număr real nenul, atunci seriile $\sum_n u_n, \; \sum_n v_n$ au aceeaşi natură.

b. În particular, dacă $v_n = \frac {1}{n^{\alpha}},$ atunci obţinem criteriul de comparaţie la limită cu seria lui Riemann

Fie $l= \lim_{n \to infty} n^{\alpha} u_n.$

i. Dacă $\alpha > 1$ şi $l \in \mathbb R, \qquad (l$ poate fi şi 0), atunci seria $\sum_n$ este convergentă.

i. Dacă $\alpha \leq 1$ şi $l > 0, \qquad (l$ poate fi şi $\infty )$, atunci seria $\sum_n$ este divergentă.

Criteriul raportului (al lui D'Alembert )

Fie $u_n>0;$ presupunem că există $\lim_{n \to \infty} \frac {u_{n+1}}{u_{n}} = l.$

a. Dacă $l<1 ,$ atunci seria $\sum_n u_n$ este convergentă.

b. Dacă $l>1,$ atunci seria $\sum_n u_n$ este divergentă.

O variantă mai generală a acestui criteriu este:

Dacă există $c \in (0,1)$ şi $n_0 \in \N$ astfel încât:

$\frac {u_{n+1}}{u_n}<c, \; \forall n \ge n_0,$

atunci seria $\sum_n u_n$

este convergentă.

---

Notaţii pentru derivata unei funcţii.

Dacă o $f(x)$ este o funcţie de $n$ ori derivabilă, atunci se notează:

$f^{n)} (x) = \frac {d^n f}{dx^x}.$

Dacă $f(x, y)$ este parţial derivabilă după $x$ respectiv $y,$ atunci se notează:

$f_x = \frac {\partial f}{\partial x}, \; f_{yx} = (f_y)_x = \frac {\partial}{\partial x} \left ( \frac {\partial f}{\partial y} \right ) = \frac {\partial^2 f}{\partial y \partial x}, \; f_{yy} = \frac {\partial^2 f}{\partial y^2}, \cdots ,$

cu notaţii similare când $f$ are mai multe variabile.

Exerciţii

• Demonstraţi că dacă $a>0, \; b>0,$ atunci:

$\frac {a}{\sqrt b} + \frac {b}{ \sqrt a} \ge \sqrt a + \sqrt b.$

• Demonstraţi prin inducţie completă:

$\sum_{k=0}^{n-1} (a + kd) = \frac n2 [2a +(n-1)d]$

(suma unei serii aritmetice)

• Demonstraţi prin inducţie completă:

$\sum_{k=0}^{n-1} r^k= \frac {1-r^n}{1-r} \; (r \neq 1)$

(suma unei serii geometrice)

• Demonstraţi prin inducţie completă:

a) $\frac{d^n}{dx^n} (\cos ax) = a^n \cos (ax + \frac {n \pi}{2}),$ unde $n\in\mathbb{N}.$

b) $\frac {d^n}{dx^n} [\ln (1+x)] = (-1)^{n+1} \frac {(n-1)!}{(1+x)^n},$ unde $n\in\mathbb{N}.$

1.4. Numere complexe

Soluţiiile ecuaţiei de gradul al doilea:

$ax^2+bx+c=0,$ unde $a,b,c \in \mathbb R, \; a \neq 0,$

sunt date de:

$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt {\Delta}}{2a},$

unde $\Delta = \sqrt {b^2-4ac}$ este discriminantul ecuaţiei. Dacă $\Delta <0,$ atunci ecuaţia nu admite soluţii reale. Se defineşte unitatea imaginară i cu proprietatea:

$i^=-1.$

Mulţimea numerelor complexe $\mathbb{C}$ este formată din numerele de forma $z=\alpha + i \beta,$ unde $\alpha, \beta \in \mathbb R.$

Numărul real $\alpha$ se numeşte partea reală a numărului complex $z,$ iar $\beta$ partea imaginară. Se notează:

$Re\{ z \} = \alpha, \; Im \{ z\} = \beta.$

Formula lui Moivre

$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = (\cos n \theta + i \sin n \theta),$ pentru $n\in\mathbb{N}.$

---

${\displaystyle }$

Titlu. Text