Math Wiki
Register
Advertisement

Introducere[]

Teorema 1: Dacă curba este dată vectorial:

atunci:



Teorema 2: Dacă curbura unei curbe este identic nulă, atunci curba este un segment dintr-o dreaptă.

Teorema 3: Dacă torsiunea unei curbe este identic nulă, atunci curba este o curbă plană, planul curbei fiind planul osculator într-un punct arbitrar.

Curbura unei curbe plane[]

Fie dată prin reprezentarea vectorială:


Fie un punct regulat de pe curbă al cărui vector de poziţie este pentru care unde este "punctul origine" al curbei corespunzător lui

Fie un punct din vecinătatea lui M având vectorul de poziţie astfel încât fixat.

Considerăm tangentele la curbă în punctele şi care formează cu axa Ox unghiurile respectiv Aceasta înseamnă că unghiul dintre cele două tangente va fi:

Curbura unei curbe plane

Curbura unei curbe plane


Definiţie Numarul real se numeşte curbură medie a lui în vecinătatea lui M.


Observaţie Lungimea arcului de curbă iar descreşte sau creşte după cum este mai puţin curbată respectiv mai mult curbată.


Definiţie. Dacă limita există, atunci această limită se numeşte curbura curbei în punctul M.


Dacă exprimăm prin dependenţa unghiului făcut de tangenta la curbă în punctul M cu axa Ox, atunci în avem de unde:

Raportul se numeşte raza de curbură în punctul regulat M.


Observaţie. Dacă atunci curba este o dreaptă.

Expresii ale curburii unei curbe plane pentru diferite reprezentări ale acesteia[]

Reprezentare parametrică[]

Dacă curba plană este dată prin reprezentarea parametrică:

iar este un punct pe curba atunci panta tangentei în M este de unde avem: Calculăm derivata lui în raport cu s şi obţinem:

unde

Astfel, formula curburii pentru o curbă plană este:


Reprezentare explicită[]

Dacă curba plană este dată prin ecuaţia carteziană explicită: atunci trecând la parametrizarea naturală: calculând derivatele de ordinul I: şi cele de ordinul II: şi înlocuind pe acestea în relaţia de la paragraful anterior obţinem:

Reprezentare implicită[]

Dacă curba plană este dată prin ecuaţia carteziană implicită atunci avem şi obţinem:

Curbura şi torsiunea unei curbe spaţiale[]

Considerăm un punct regulat şi neinflexionar Vom nota în continuare versorii reperului Frenet în punctul M cu şi Are loc următoarea teoremă:


Teorema 4. (Formulele Frenet-Serret).

unde este viteza curbei iar şi sunt curbura şi respectiv torsiunea curbei în punctul M.


Pentru curbura avem următoarele formule:

unde sunt componentele scalare ale vectorului


Raza de curbură a curbei în punctul M este

Pentru torsiunea avem formulele:

unde


Raza de torsiune în punctul M este

Vezi şi[]

  • Curbura unei suprafeţe

Resurse[]

Advertisement