Cercul celor 9 puncte (2).png

Enunţ[modificare | modificare sursă]

Teoremă (Euler). Mijloacele laturilor unui triunghi, picioarele înălţimilor şi mijloacele segmentelor formate de ortocentru cu vârfurile triunghiului sunt 9 puncte conciclice (Cercul celor 9 puncte sau Cercul lu


Iată încă o teoremă pentru care prezentăm o demonstraţie trigonometrică. Demonstraţia se va face în două etape. În prima etapă se va arăta că mijloacele laturilor şi picioarele înălţimilor sunt puncte conciclice, iar în a doua etapă că picioarele înălţimilor şi mijloacele segmentelor formate de ortocentru cu vârfurile triunghiului sunt puncte conciclice. În ambele etape se va folosi reciproca teoremei lui Ptolemeu.

I. Mijloacele laturilor şi picioarele înălţimilor sunt puncte conciclice

Fie M, N, P respectiv mijloacele laturilor BC, CA şi AB, iar A', B', C' respectiv picioarele înălţimilor corespunzătoare aceloraşi laturi ale triunghiului ABC. Vom demonstra pentru început că punctele A', M, N şi P sunt conciclice. Pentru aceasta, calculăm lungimile laturilor şi diagonalelor patrulaterului A'MNP.

; ; (linii mijlocii în ) ; (mediane corespunzătoare ipotenuzelor în , respectiv ) .

Calculăm apoi

(1) ; Şi

(2) .

Demonstratie teorema Euler.png

Comparând relaţiile (1) şi (2), constatăm că , Adică patrulaterul A'MNP este inscriptibil, conform reciprocei lui Ptolemeu. Analog, se demonstrează că B', M, N, P, respectiv C', M, N, P sunt conciclice. Prin urmare, picioarele înălţimilor şi mijloacele laturilor unui triunghi sunt puncte conciclice. II. Picioarele înălţimilor şi mijloacele segmentelor formate de ortocentru cu vârfurile triunghiului sunt puncte conciclice.

Demonstratie teorema Euler 2.png

Fie A', B', C' picioarele înălţimilor corespunzătoare laturilor BC, CA, respectiv AB şi A'', B'', C'' mijloacele segmentelor AH, BH, respectiv CH. Vom demonstra pentru început că punctele A', B', C' şi A'' sunt conciclice. Pentru aceasta,calculăm lungimile laturilor şi diagonalelor patrulaterului A'B'AC'. ; ; ; ; (mediane corespunzătoare ipotenuzei în triunghiurile dreptunghice AB'H, respectiv AC'H);

Pentru calculul lui HA', aplicăm teorema lui Menelaos în triunghiul AA'C intersectat de dreapta BB': .

Apoi,

.


Calculăm apoi (1) ;

Şi

(2)

.

Comparând relaţiile (1) şi (2), obţinem: .

Prin urmare, patrulaterul A'B'A''C' este inscriptibil şi punctele A', B', C', A'' sunt conciclice. Analog se arată că punctele A', B', C', B'' şi respectiv A', B', C', C'' sunt conciclice. Aşadar, picioarele înălţimilor şi mijloacele segmentelor formate de ortocentru cu vârfurile triunghiului sunt puncte conciclice.

I şi II demonstrează că picioarele înălţimilor, mijloacele laturilor şi mijloacele segmentelor care unesc ortocentrul unui triunghi cu vârfurile triunghiului sunt puncte conciclice.


Cercul celor 9 puncte.png

Trasat cu program tip Geogebra online


Variaţiuni[modificare | modificare sursă]

Fie dreapta lui Euler (determinată de H şi O) şi cercul celor nouă puncte (determinat de mijloacele laturilor, ).

Cercul celor 9 puncte (Euler) (1).png

Sunt bine cunoscute următoarele proprietăţi ale acestrei configuraţii:

(centrul cercului ) sunt pe

conţine picioarele înălţimilor şi mijloacele segmentelor adică punctele

punctele şi sunt dimetral opuse în şi


şi


cercurile (circumscris ) şi sunt omotetice prin omotetiile şi [1] dacă are raza R, atunci are raza

Următorul rezultat, sugerat de configuraţia de mai sus, reprezintă o generalizare a proprietăţii (în loc de H considerăm un punct oarecare).

Propoziţia 1. Fie şi P un punct oarecare. Atunci dreptele ce unesc mijloacele ale segmentelor ceviene cu mijloacele ale laturilor opuse sunt concurente.

Cercul celor 9 puncte (Euler) (2).png

Demonstraţie. Patrulaterul este paralelogram, căci şi sunt paralele cu BC şi egale cu Ca urmare, şi se intersectează în aflat la jumătatea fiecăruia. La fel se arată că şi una dintre se intersectează în

Observaţii.

1) Pentru a obţine punctul P este suficient să luăm o singură ceviană; dacă aceasta este AP, atunci este mijlocul segmentului

2) Distingem trei cercuri cu centrul în punctul P şi de raze ce apar în locul cercului celor nouă puncte.

Propoziţia 2. Dacă P este pe atunci obţinut din P ca în Propoziţia 1, este de asemenea pe (v. fig.).

Cercul celor 9 puncte (Euler) (3).png

Demonstraţie. Fie mijlocul segmentului eulerian şi mijlocul segmntului cevian deci Notăm cu Q intersecţia paralelei prin la ceviana AP. Din acest fapt şi din proprietăţile şi rezultă că sunt congruente (ULU), deci Patrulaterul este paralelogram şi este mijlocul segmentului Cum urmează că

Revenind la Propoziţia 1, vom impune punctului P condiţii suplimentare, care să-l apropie de H.

Cercul celor 9 puncte (Euler) (4).png

Propoziţia 3. Fie P un punct în planul Punctele (fig. 2) sunt conciclice dacă şi numai dacă

Demonstraţie. Am observat deja că este paralelogram. Dacă sunt conciclice, atunci va fi dreptunghi, deci Dar ( în ). Deci adică Implicaţia reciprocă se dovedeşte pe cale inversă.


Propoziţia 4. Fie P în planul Dacă punctele şi (sau ) (fig. 2) sunt conciclice, atunci P coincide cu H.

Demonstraţie. Cercul pe care se află punctele are centrul în Ambele puncte şi vor fi pe cerc, căci şi unul din ele, prin ipoteză, este pe cerc. Conform Propoziţiei 3, aplicată de 3 ori, avem şi adică P şi H coincid.


Propoziţia 5. Dacă punctul P verifică condiţia şi punctele (fig. 2) sunt conciclice, atunci P este ortocentrul H al

Demonstraţie. Punctul definit prin este piciorul înălţimii duse din A. Ca urmare, şi dreptunghic în este înscris în deci, este un diametru în În consecinţă, mijlocul lui care este va fi centrul cercului Din faptul că rezultă că punctele diametral opuse lor vor fi pe acest cerc, adică Se poate aplica Propoziţia 4, conform căreia P este punctul H.

Galerie[modificare | modificare sursă]

Nine-point circle 1.svg Nine-point circle 2.gif Nine-point circle 3.gif Nine-point circle 4.PNG Nine-point circle 5.jpg 2NinePoint3.gif

Note[modificare | modificare sursă]

  1. 1. D. Brânzei, S. Aniţa, C. Cocea - Planul si spaţiul euclidian, Biblioteca profesorului de matematică, Ed. Academiei, Bucureşti, 1986

Vezi şi[modificare | modificare sursă]

Resurse[modificare | modificare sursă]

Euler thumb portrait.png
Leonhard Euler
  • Dreapta lui Euler‎‎Cercul lui EulerEcuația Cauchy–EulerNumărul lui EulerConstanta lui EulerCaracteristica EulerTeorema lui Euler (geometrie)Teorema lui Euler (teoria numerelor)Funcția lui EulerFormula lui EulerFormula lui Euler (mecanică)Metoda EulerIntegrala Euler-PoissonFormula Euler-MaclaurinProdusul lui EulerIntegrală EulerUnghiurile lui EulerInegalitatea lui EulerRelația lui Euler pentru patrulatere
Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.