Calcul vectorial/Spațiul euclidian

Această pagină se poate vedea mai bine în format MonoBook.

1. Spațiul euclidian În acest capitol se vor considera operaţiile cu vectori în spaţiul bidimensional şi cel tridimensional şi ulterior se vor generaliza aceste noţiuni pentru spaţiul n-dimensional, la care se va adăuga studiul matricelor. 1.1 Vectori în spaţiul bi- şi tridimensional Un punct $P$ din plan poate fi reprezentat printr-o pereche de numere reale $(a_1, a_2),$ unde $a_1,a_2$ sunt coordonatele carteziene ale lui $P.$ Dacă $O$ este originea axelor de coordonate $Ox, \; Oy$, $a_1, \; a_2$ se mai numesc şi componentele vectorului $\overrightarrow {OP}.$ Se mai notează şi $a_1=x, \; a_2=y$ În spaţiu, în locul expresiei "punctul $P$ de coordonate $a_1,a_2,a_3$" se va spune mai simplu "punctul $a_1, a_2, a_3.$" $a_1$ se mai numeşte şi coordonata x, $a_2$ coordonata y, iar $a_3$ coordonata z. Se va nota prin $\R^n$ mulţimea n-uplurilor $(x_1, x_2, \cdots, x_n)$ cu $x_i \in \mathbb R, \; \forall i=\overline {1, n}.$ Coordonate carteziene în plan Coordonate carteziene în spaţiu Adunarea vectorilor şi înmulţirea acestora cu scalari Operaţia de adunare poate fi extinsă de pe $\R$ pe $\mathbb R^{2}$ şi $\mathbb{R}^3.$ Astfel, pe $\mathbb R^{3}$ se defineşte suma tripletelor $(a_1, a_2, a_3)$ şi $(b_1, b_2, b_3)$ $(a_1, a_2, a_3) + (b_1, b_2, b_3) = (a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3).$ Elementul $(0,0,0)$ este numit elementul zero (sau chiar zero) al lui $\mathbb{R}^3.$ Dându-se punctul $(a_1, a_2, a_3),$ elementul $(-a_1, -a_2, -a_3)$ este numit inversul sau negativul şi se poate scrie: $(a_1, a_2, a_3) + (-b_1, -b_2, -b_3) \overset {def}{=} (a_1, a_2, a_3) - (b_1, b_2, b_3).$ Un vector adunat cu inversul acestuia ne dau zero: $(a_1, a_2, a_3) + (-a_1, -a_2, -a_3)=(0,0,0).$ O altă operaţie pe $\mathbb R^{3}$ este înmulţirea unui vector cu un scalar, unde prin scalar se înţelege număr real. Astfel, dându-se un scalar $\alpha \in \R$ şi un vector $(a_1, a_2, a_3) \in \mathbb R^3,$ se defineşte produsul scalar prin: $\alpha \cdot (a_1, a_2, a_3) \overset {def}{=} (\alpha \cdot a_1, \alpha \cdot a_2, \alpha \cdot a_3).$ Adunarea şi înmulţirea cu scalari a vectorilor din $\mathbb R^{3}$ satisfac proprietăţile: (i)   $\; (\alpha \beta) (a_1, a_2, a_3) = \alpha [\beta (a_1, a_2, a_3)]$ (asociativitate) (ii)   $\; (\alpha + \beta) (a_1, a_2, a_3) = \alpha (a_1, a_2, a_3) + \beta (a_1, a_2, a_3)]$ (distributivitate) (iii)   $\; \alpha [(a_1, a_2, a_3) + (b_1, b_2, b_3)]= \alpha (a_1, a_2, a_3) + \alpha (b_1, b_2, b_3)]$ (distributivitate) (iv)   $\alpha \cdot (0,0,0) = (0,0,0)$ (element nul) (v)   $0 \cdot (a_1, a_2,a_3) = (0,0,0)$ (element nul) (vi)   $1 \cdot (a_1, a_2,a_3) = (a_1, a_2,a_3).$ (element unitate) Exemplu. Ecuaţia chimică $2 NH_2 + H_2 = 2 NH_3$ poate fi scrisă ca o relaţie algebrică între perechi ordonate: $2 \cdot (1,2) + (0,2)= 2 \cdot (1,3).$ O altă operaţie cu vectori este produsul scalar despre care se va discuta la secţiunea 1.2. Geometria operaţiilor vectoriale Vectorii legaţi, văzuţi ca nişte săgeţi care pornesc din origine Se consideră vectorul ca fiind un segment orientat cu originea în originea axelor de coordonate, extremitatea în punctul $P (a_1, a_2, a_3)$ şi de lungime egală cu modulul vectorului. Se notează $\overrightarrow {OP} = \vec a = \mathbf a= (a_1, a_2, a_3) .$ Un vector este numit vector legat când originea sa este fixată în originea axelor de coordonate şi vector liber (pe scurt vector) când nu există restricţii privind poziţia originii acestuia. Doi vectori $\mathbf a = (a_1, a_2, a_3)$ şi $\mathbf b=(b_1, b_2, b_3)$ sunt egali dacă şi numai dacă $a_1=b_1, \; a_2=b_2$ şi $a_3=b_3.$ Regula paralelogramului În plan, adunarea a doi vectori mai poate fi realizată şi cu regula paralelogramului. Astfel, dacă $\mathbf a, \; \mathbf b$ sunt laturile alăturate ale unui paralelogram, atunci vectorul sumă $\mathbf a + \mathbf b$ este diagonala paraleogramului care porneşte din originea comună a celor doi vectori. Acest mod de vizualizare geometric este util în multe probleme de fizică. De exemplu, se consideră zborul unui avion sau al unei păsări în aer cu viteza $\mathbf{v}_1$ în prezenţa unui vânt, de altă direcţie, cu viteza $\mathbf v_2,$ vezi figura de mai jos: O interpretare fizică a adunării vectorilor Pentru demonstrarea formulei $(a_1, b_1) + (a_2, b_2) = (a_1 + b_1, a_2+b_2).$ Pentru a demonstra că definiţia geometrică a adunării este consistentă cu definiţia algebrică a acesteia, vom considera cazul plan şi fie $\mathbf a= (a_1, a_2)$ vectorul cu extremitatea în punctul $A(a_1, a_2)$ şi vectorul $\mathbf b= (b_1, b_2)$ cu extremitatea în $B(b_1, b_2).$ Se trasează paralelogramul $OACB$ Pentru a se demonstra că valorile coordonatelor punctului $C$ sunt $(a_1, b_1) + (a_2, b_2)$ se va ţine cont că triunghiurile $OAD$ şi $BCG$ sunt congruente. Rezultă că $BGFE$ este dreptunghi şi că $OF=a_1+b_1.$ Vectorii se pot aduna şi după regula triunghiului: Se translatează vectorul $\mathbf{b}$ cu originea în extremitatea vectorului $\mathbf a.$ Vectorul rezultant uneşte originea lui $\mathbf{a}$ cu extrmitatea lui $\mathbf{b}$ translatat. Adunarea vectorilor după regula triunghiului. În al doilea caz, triunghiul devine segment când vectorii sunt coliniari. În ceea ce priveşte reprezentarea geometrică a înmulţirii cu scalari, vectorul $\alpha \cdot \mathbf a$ este un vector de $|\alpha|$ ori mai lung decât $\mathbf{a}$ şi având acelaşi sens dacă $\alpha>0$ şi sens contrar dacă $\alpha <0.$ Exemple de multipli scalari ai vectorului $\mathbf{a}$ Dacă $\mathbf{a}$ şi $\mathbf{b}$ sunt doi vectori legaţi, atunci vectorul diferenţă $\mathbf b - \mathbf a$ uneşte vârful lui $\mathbf{a}$ cu cel al lui $\mathbf b.$ Reprezentarea geometrică a diferenţei a doi vectori Versorii axelor de coordonate Reprezentarea vectorului $(2,3,2)$ cu ajutorul versorilor $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ Un modalitate eficientă de a descrie un vector în spaţiu o constituie utilizarea versorilor axelor de coordonate, vectori de modul unitar şi orientaţi de-a lungul fiecărei axe: $\mathbf i = (1,0,0)$ $\mathbf j = (0,1,0)$ $\mathbf k = (0,0,1)$ Astfel dacă $\mathbf{a}$ este un vector legat cu componentele $a_1,a_2,a_3$ atunci se poate scrie: $\mathbf a = a_1 \mathbf i + a_2 \mathbf j + a_3 \mathbf k.$ Adunarea vectorilor şi înmulţirea cu scalari poate fi scrisă acum: $(a_1 \mathbf i+a_2 \mathbf j + a_3 \mathbf k) + (b_1 \mathbf i+b_2 \mathbf j + b_3 \mathbf k)= (a_1+ b_1) \mathbf i + (a_2+ b_2) \mathbf j + (a_3+ b_3) \mathbf k$ $\alpha (a_1 \mathbf i+a_2 \mathbf j + a_3 \mathbf k) = (\alpha a_1) \mathbf i + (\alpha a_2) \mathbf j + (\alpha a_3) \mathbf k.$ Vectorul care uneşte două puncte Pentru a aplica teoria vectorială în studiul problemelor de geometrie, este util să asociem unui vector o pereche de puncte în spaţiu astfel: Dându-se două puncte $P$ şi $P'$ trasăm un vector cu originea în $P$ şi extremitatea în $P'$ pe care îl notăm $\overrightarrow {PP'}.$ Dacă $P=(x,y,z)$ şi $P' (x', y', z')$ atunci vectorii $\overrightarrow {OP}$ şi $\overrightarrow {OP'}$ sunt $\mathbf a = x \mathbf i + y \mathbf j + z \mathbf k$ şi $\mathbf a = x' \mathbf i + y' \mathbf j + z' \mathbf k$. Aşadar, vectorul $\overrightarrow {PP'}$ care uneşte punctul $P$ cu $P'$ are componentele $(x'-x, y'-y, z'-z.)$ Teoreme din geometrie tratate vectorial Multe din teoremele geometriei clasice pot fi demonstrate vectorial. Exemplu. Demonstraţia vectorială a faptului că diagonalele unui paralelogram se intersectează în mijloacele acestora. Fie paralelogramul $OPRQ$ cu laturile alăturate reprezentate prin vectorii $\mathbf a = \overrightarrow {OP}$ şi $\mathbf b = \overrightarrow {OQ}.$ Fie $M$ mijlocul diagonalei $OR,$ $N$ mijlocul diagonalei $PQ.$ Se observă că $\overrightarrow {OR} = \overrightarrow {OP} + \overrightarrow {OQ}= \mathbf a + \mathbf b$ conform regulii paraleogramului, deci $\overrightarrow {OM} = \frac 12 \overrightarrow {OR}= \frac 12 +(\mathbf a + \mathbf b).$ Pe de altă parte, $\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {OQ} - \overrightarrow {OP} = \mathbf b - \mathbf a,$ deci $\overrightarrow {PN} = \frac 12 \overrightarrow {PQ} = \frac 12 (\mathbf b - \mathbf a),$ şi de aici $\overrightarrow {ON} = \overrightarrow {OP} + \overrightarrow {PN} = \mathbf a + \frac 12 (\mathbf b - \mathbf a) = \frac 12 (\mathbf a + \mathbf b).$ Deoarece vectorii $\overrightarrow{OM}$ şi $\overrightarrow{ON}$ sunt egali rezultă că punctele $M$ şi $N$ coincid. Ecuaţia dreptei Utilizând interpretarea geometrică a adunării vectorilor şi înmulţirii acestora cu scalari, vom găsi ecuaţia dreptei $l$ care trece prin vârful vectorului $\mathbf{a}$ şi are direcţia dată de vectorul $\mathbf v.$ Ecuaţia dreptei este: $\mathbf l(t) = \mathbf a + t \mathbf v,$ unde $l \in \mathbb R$ este un parametru. Dacă $\mathbf a= (x_1, y_1, z_1)$ şi $\mathbf v = (a, b, c)$ atunci ecuaţiile parametrice ale dreptei sunt: $\begin{matrix} x=x_1 + at \\ y= y_1 + bt \\ z=z_1+ ct. \end{matrix}$ Exemple. a) Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctul $(3,-1,2)$ şi are direcţia $2 \mathbf i - 3 \mathbf j + 4 \mathbf k.$ b) Care este vectorul director al dreptei $x=-3t+2, \; y=-2(t-1), \; z= 8t+2 \; ?$ c) Se intersectează dreptele $(x,y,z)= (t, -6t+1, 2t-8)$ şi $(x,y,z) = (3t+1, 2t, 0) \; ?$ Soluţie. a) Avem $\mathbf a= (3,-1,2) = (x_1, y_1, z_1)$ şi $\mathbf v= 2 \mathbf i - 3 \mathbf j + 4 \mathbf k,$ deci $a=2, \; b=-3, \; c=4.$ Ecuaţiile sunt: $x= 3+2t, \; y=-1-3t, \; z=2+4t.$ b) Conform formulelor indicate: $\mathbf v= -3 \mathbf i - 2 \mathbf j + 8 \mathbf k.$ c) Dacă dreptele se intersectează, există $t_1, t_2 \in \mathbb R$ astfel încât: $(t_1, -6 t_1, 2t_1-8) = (3t_2+1, 2t_2, 0)$ şi obţinem sistemul de ecuaţii: $\begin{matrix} t_1 & = & 3t_2+1 \\ -6t_1 & = & 2t_2 \\ 2t_1 -8 & = & 0. \end{matrix}$ Din a treia ecuaţie $t_1=4$ şi atunci din prima rezultă $t_2=1.$ Atunci ecuaţia a treia nu se verifică, deci dreptele nu se intersectează. Observaţie. Ecuaţia vectorială a unei drepte poate avea mai multe forme. Astfel, dacă în locul vectorului $\mathbf{a}$ este ales vectorul $\mathbf a + \mathbf v$ (şi extremitatea acestuia aparţine dreptei), atunci ecuaţia parametrică devine: $\mathbf l_1(t)= (\mathbf a + \mathbf v) + t \mathbf v.$ Dacă în locul vectorului $\mathbf{v}$ este considerat vectorul $\alpha \mathbf v$, unde $\alpha \in \mathbb R^*,$ ecuaţia devine: $\mathbf l_2(t)= \mathbf a + t \alpha \mathbf v.$ Să determinăm ecuaţia vectorială a dreptei care trece prin extremităţile a doi vectori diferiţi $\mathbf a, \mathbf b.$ Deoarece vectorul $\mathbf b - \mathbf a$ este paralel cu dreapta, ecuaţia dreptei este: $\mathbf l(t) = \mathbf a + t (\mathbf b - \mathbf a).$ Aşadar, dreapta care trece prin punctele $P= (x_1, y_1, z_1)$ şi $Q=(x_2, y_2, z_3)$ are ecuaţiile parametrice: $\begin{matrix} x & = & x_1 + (x_2-x_1) t, \\ y & = & y_1 + (y_2-y_1) t, \\ z & = & z_1 + (z_2-z_1) t, \end{matrix}$ Eliminând parametrul $t \in \mathbb R,$ ecuaţiile mai pot fi scrise: $\frac {x-x_1}{x_2-x_1} = \frac {y-y_1}{y_2-y_1} = \frac {z-z_1}{z_2-z_1}.$ Exemple. a) Să se determine ecuaţiile parametrice ale dreptei care trece prin punctele $(2,1, -3)$ şi $(6,-1, -5).$ b) Să se determine vectorii de poziţie ai paralelogramului având ca laturi alăturate vectorii $\mathbf{a}$ şi $\mathbf b,$ ambii cu originea în $O.$ Soluţie. a) $\begin{cases} x = 2+4t \\ y = 1-2t \\ z = -3-2t. \end{cases}$ b) Se construiesc dreptele $l_1$ şi $l_2$ care trec prin $P$ şi sunt paralele cu vectorii $\mathbf{a}$ respectiv $\mathbf b.$ Se va deduce că $\overrightarrow {OP} = s \mathbf a + t \mathbf b,$ unde $s,t \in [0, 1].$ Aşa cum două drepte diferite care trec prin originea axelor determină un plan, în mod similar doi vectori neparaleli $\mathbf v, \; \mathbf w$ determină un plan. Acest plan este mulţimea punctelor având ca vector de poziţie $s \mathbf v + t \mathbf w,$ unde $s,t \in \mathbb R.$ 1.2 Produs scalar, lungime, distanţă Produsul scalar Considerăm vectorii $\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3$ şi dorim să determinăm unghiul dintre aceştia adică unghiul $\theta$ format de direcţiile acestora în planul determinat de vectori. Dacă $\mathbf{a}=a_1\mathbf{i}+a_2\mathbf{j}+a_3\mathbf{k}$ şi $\mathbf{b}=b_1\mathbf{i}+b_2\mathbf{j}+b_3\mathbf{k}$ atunci definim produsul scalar dintre cei doi vectori, notat $\mathbf a \cdot \mathbf b,$ ca fiind: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.$ Observaţii. 1) Rezultatul produsului scalar este un scalar, de unde şi denumirea. 2) Produsul scalar dintre $\mathbf{a}$ şi $\mathbf{b}$ mai poate fi notat şi $(\mathbf a, \mathbf b).$ Exemplu. Calculaţi $(2 \mathbf i + \mathbf j - \mathbf k) \cdot (3 \mathbf k - 2 \mathbf j).$ Soluţie. $(2 \mathbf i + \mathbf j - \mathbf k) \cdot (3 \mathbf k - 2 \mathbf j)= (2 \mathbf i + \mathbf j - \mathbf k) \cdot (0 \mathbf i -2 \mathbf j +3 \mathbf k) = 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - 1 \cdot 3= -5.$ Proprietăţile produsului scalar rezultă chiar din definiţie. Astfel, dacă $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \in \mathbb{R}^3$ şi $\alpha, \beta \in \mathbb R$ atunci: (i)   $\mathbf a \cdot \mathbf a \ge 0;$ $\mathbf a \cdot \mathbf a = 0;$ dacă şi numai dacă $\mathbf a = \mathbf 0.$ (ii)   $(\alpha \mathbf a ) \cdot \mathbf b = \alpha (\mathbf a \cdot \mathbf b)$   şi   $\mathbf a \cdot ( \beta \mathbf b )= \beta (\mathbf a \cdot \mathbf b)$ (iii)   $\mathbf a \cdot (\mathbf b \cdot \mathbf c) = \mathbf a \cdot \mathbf b + \mathbf a \cdot \mathbf c$   şi   $(\mathbf a + \mathbf b) \cdot \mathbf c= \mathbf a \cdot \mathbf c + \mathbf b \cdot \mathbf c.$ (iv)   $\mathbf a \cdot \mathbf b = \mathbf b \cdot \mathbf a.$ Pentru a demonstra prima proprietate, se va observa că dacă $\mathbf a = a_1 \mathbf i + a_2 \mathbf j + a_3 \mathbf k,$ atunci $\mathbf a \cdot \mathbf a= a_1^2 + a_2^2 + a_3^2.$ Deoarece $a_1, a_2, a_3 \in \mathbb R$ avem $a_1^2 \ge 0, \; a_2 \ge o, \; a_3 \ge 0$ şi deci $\mathbf a \cdot \mathbf a \ge 0.$ Mai departe, dacă $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2=0,$ atunci $a_1=a_2=a_3=0$ deci $\mathbf = \mathbf 0$ (vector nul). Celelalte proprietăţi sunt uşor de demonstrat. Din teorema lui Pitagora rezultă că lungimea vectorului $\mathbf{a}=a_1\mathbf{i}+a_2\mathbf{j}+a_3\mathbf{k}$ este $\sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}.$ Lungimea unui vector $\mathbf{a}$ se notează $\| \mathbf a \|,$ cantitate care mai este numită şi norma lui $\mathbf a.$ Deoarece $\mathbf a \cdot \mathbf a= a_1^2 + a_2^2 + a_2^2$ rezultă că: $\| \mathbf a \| = (\mathbf a \cdot \mathbf a)^{1/2}.$ Vectorii cu norma 1 sunt numiţi vectori unitari. Astfel de vectori sunt $\mathbf i, \mathbf j \mathbf k.$ Se remarcă faptul că, pentru orice vector nenul $\mathbf a,$ vectorul $\mathbf a / \| \mathbf a \|$ este vector unitar, numit vectorul $\mathbf a,$ normalizat. Exemple. 1) Să se normalizeze vectorul $\mathbf v = 2 \mathbf i + 3 \mathbf j - \frac 12 \mathbf k.$ 2) Să se găsească trei vectori unitari $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c$ în plan astfel încât $\mathbf b + \mathbf c = \mathbf a.$ Soluţie. 1) Avem $\| \mathbf v \| = \sqrt {2^2 + 3^2+ (1/2)^2} = (1/2) \sqrt {53},$ deci normalizarea lui $\mathbf{v}$ este: $\mathbf u = \frac {1}{\| \mathbf v \|} \mathbf v = \frac {4}{\sqrt {53}} \mathbf i + \frac {6}{\sqrt {53}} \mathbf j - \frac {1}{\sqrt {53}} \mathbf k.$ 2) Deoarece cei trei vectori au lungimea 1, triunghiul cu laturile $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c$ este echilateral. Orientăm triunghiul ca în figură astfel încât $\mathbf a = \mathbf i$ şi deci $\mathbf b= \frac 12 \mathbf i + \frac {\sqrt 3}{2} \mathbf j, \; \mathbf c= \frac 12 \mathbf i - \frac {\sqrt 3}{2} \mathbf j.$ În plan, vectorul unitar care formează unghiul $\theta$ cu axa $Ox$ este: $\mathbf i_{\theta} = (\cos \theta) \mathbf i + (\sin \theta) \mathbf j.$ Distanţa Dacă $\mathbf a, \mathbf b$ sunt vectori, atunci vectorul $\mathbf b - \mathbf a$ este paralel şi are modulul egal cu lungimea segmentului determinat de extremităţile vectorilor $\mathbf a, \mathbf b.$ Deci această distanţă este $\| \mathbf b- \mathbf a \|.$ Rezumat Dacă $\mathbf a= a_1 \mathbf i + a_2 \mathbf j + a_3 \mathbf k, \; \mathbf b= b_1 \mathbf i + b_2 \mathbf j + b_3 \mathbf k ,$ produsul scalar al acestora este: $\mathbf a \cdot \mathbf b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3,$ iar lungimea lui $\mathbf{a}$ este: $\| \mathbf a \| = \sqrt {\mathbf a \cdot \mathbf a} = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}.$ Pentru a normaliza vectorul $\mathbf{a}$ se formează vectorul   $\frac {\mathbf a}{\| \mathbf a \|}.$ Distanţa dintre extremităţile vectorilor $\mathbf a, \mathbf b$   este   $\| \mathbf a - \mathbf b \|,$ iar distanţa dintre $P, Q$   este   $\overrightarrow {PQ}.$ Unghiul dintre doi vectori Teorema 1. Fie vectorii $\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3$ şi fie $\theta \in [0, \pi]$ unghiul dintre vectori. Atunci $\mathbf a \cdot \mathbf b= \| \mathbf a \| \cdot \| \mathbf b \| \cdot \cos \theta.$ Rezultă că, dacă vectorii $\mathbf a, \mathbf b$ sunt nenuli, unghiul dintre aceştia este: $\theta = \arccos \left ( \frac {\mathbf a \cdot \mathbf b}{\| \mathbf a \| \| \mathbf b \|} \right )$ Demonstraţie. Se aplică teorema cosinusurilor pentru triunghiul cu vârful în origine şi celelalte vârfuri în extremităţile vectorilor: $\| \mathbf b - \mathbf a \| ^2 = \| \mathbf a \| ^2 + \| \mathbf b \| ^2 - 2 \| \mathbf a \| \| \mathbf b \| \cos \theta.$ Deoarece $\| \mathbf b - \mathbf a \|^2 = (\mathbf b - \mathbf a) \cdot ( \mathbf b - \mathbf a ) , \; \| \mathbf a \|^2 = \mathbf a \cdot \mathbf a, \; \| \mathbf b \|^2 = \mathbf b \cdot \mathbf b$ putem să scriem: $(\mathbf b - \mathbf a) \cdot (\mathbf b - \mathbf a) = \mathbf a \cdot \mathbf a + \mathbf b \cdot \mathbf b - 2 \| \mathbf a \| \| \mathbf b \| \cos \theta.$ Putem de asemenea să dezvoltăm $(\mathbf b - \mathbf a) \cdot (\mathbf b - \mathbf a)$ după cum urmează: $(\mathbf b - \mathbf a) \cdot (\mathbf b - \mathbf a) = \mathbf b \cdot (\mathbf a - \mathbf a) - \mathbf a \cdot (\mathbf a - \mathbf a) = \mathbf a \cdot \mathbf a + \mathbf b \cdot \mathbf b - 2 \mathbf a \cdot \mathbf b.$ Deci $\mathbf a \cdot \mathbf a + \mathbf b \cdot \mathbf b - 2 \mathbf a \cdot \mathbf b = \mathbf a \cdot \mathbf a + \mathbf b \cdot \mathbf b - 2 \| \mathbf a \| \| \mathbf b \| \cos \theta,$ ceea ce înseamnă că: $\mathbf a \cdot \mathbf b = \| \mathbf a \| \| \mathbf b \| \cos \theta.$ Exemplu. Să se determne unghiul dintre vectorii $\mathbf i + \mathbf j + \mathbf k$ şi $\mathbf i + \mathbf j - \mathbf k.$ Soluţie. Conform teoremei 1 avem $(\mathbf i + \mathbf j + \mathbf k ) \cdot (\mathbf i + \mathbf j - \mathbf k) =$ $= \| \mathbf i + \mathbf j + \mathbf k \| \| \mathbf i + \mathbf j + \mathbf k \| \cos \theta,$ deci: $1+1-1 = \sqrt 3 \sqrt 3 \cos \theta,$ de unde $\cos \theta = \frac 13,$ ceea ce înseamnă că: $\theta = \arccos \frac 13 \approx 1,23 \; rad \; (71^{\circ}).$ Reprezentarea geometrică a diferenţei a doi vectori Inegalitatea Cauchy-Schwarz O consecinţă importantă a teoremei 1 este: Corolar: Inegalitatea Cauchy-Schwarz. Pentru orice doi vectori $\mathbf a, \mathbf b$ avem: $|\mathbf a \cdot \mathbf b| \le \| \mathbf a \| \| \mathbf b \|$ cu egalitate dacă şi numai dacă $\mathbf{a}$ este multiplu scalar de $\mathbf{b}$ sau unul dintre cei doi vectori este nul. Demonstraţie. Dacă $\mathbf{a}$ nu este multiplu scalar de $\mathbf b,$ atunci $\theta,$ unghiul dintre vectori nu este zero sau $\pi$ deci $| \cos \theta | <1$ şi are loc inegalitatea. În caz contrar, $\theta \in \{ 0, \pi \}$ şi are loc egalitatea. Consecinţă. Dându-se doi vectori nenuli, produsul scalar al acestora este zero dacă şi numai dacă vectorii sunt perpendiculari (ortogonali). Vectorii bazei standard, $\mathbf i, \mathbf j , \mathbf k,$ sunt ortogonali între ei şi de lungime unitară. Un astfel de sistem se numeşte ortonormat. Se adoptă convenţia ca vectorul nul să fie ortogonal cu orice vector. Exemplu. Vectorii $\mathbf i_{\theta}= \mathbf i \cos \theta + \mathbf j \sin \theta$ şi $\mathbf j_{\theta}= - \mathbf i \sin \theta + \mathbf j \cos \theta$ sunt ortogonali deoarece: $\mathbf i_{\theta} \cdot \mathbf j_{\theta} = - \cos \theta \sin \theta + \sin \theta \cos \theta = 0.$ Exemplu. Fie $\mathbf a, \mathbf b$ doi vectori nenuli ortogonali. Dacă $\mathbf c$ este un vector situat în planul determinat de $\mathbf a, \mathbf b$ atunci există scalarii $\alpha, \beta \in \mathbb R$ astfel încât $\mathbf c = \alpha \mathbf a + \beta \mathbf b.$ Utilizaţi produsul scalar pentru determinarea lui $\alpha, \beta .$ Soluţie. Avem: $\mathbf a \cdot \mathbf c = \mathbf a \cdot (\alpha \mathbf a + \beta \mathbf b) = \alpha \mathbf a \cdot \mathbf a + \beta \mathbf a \cdot \mathbf b.$ Deoarece $\mathbf a, \mathbf b$ sunt ortogonali, $\mathbf a \cdot \mathbf b =0$ şi deci: $\alpha = \frac {\mathbf a \cdot \mathbf c}{\mathbf a \cdot \mathbf a} = \frac {\mathbf a \cdot \mathbf c}{\| \mathbf a \|^2}.$ În mod similar: $\beta = \frac {\mathbf b \cdot \mathbf c}{\| \mathbf b \|^2}.$ Proiecţie ortogonală