Definiţia 1:
Spunem că un şir este fundamental (sau şir Cauchy) dacă astfel încât
Definiţia 2:
Spunem că un şir este fundamental (sau şir Cauchy) dacă astfel încât şi
Definiţia 3:
Spunem că un şir este fundamental (sau şir Cauchy) dacă astfel încât
Observaţie:
Cele trei definiţii sunt echivalente:
Criteriul lui Cauchy[]
Un şir de numere reale este convergent dacă şi numai dacă este şir Cauchy.
- şir fundamental
(Se mai numeşte şi Teorema de convergenţă a lui Cauchy.)
Demonstraţie.
Necesitatea.
Fie un şir convergent având limita
Pentru astfel înct
Dacă atunci şi mai departe
Exerciţii[]
I.
Utilizând criteriul lui Cauchy, să se arate că următoarele şiruri sunt convergente:
1)
Rezolvare:
Demonstrăm că:
astfel încât şi
- -p (not p)
-
p este un număr arbitrar.
Când obţinem:
deci putem lua
astfel încât şi
2)
Demonstrăm că
- astfel încât şi
Deci
- astfel încât şi
3)
după cum am arătat la exerciţiul anterior,
se obţine
- astfel încât şi
4)
II. Arătaţi că următorul şir de numere reale nu este fundamental:
Arătăm că:
- astfel încât şi
- astfel încât
- şirul nu este fundamental.
Resurse[]