FANDOM


量子力学における確率流束とは、時間変化による存在確率の空間的な流れを表すベクトル量である。

連続の方程式から、確率流束jは次の式で表されるとわかる。(もしくは次の式が定義であるとすると、連続の方程式を満たす。)

$ \mathbf{j}=\frac{i\hbar}{2m}(\Psi^*\nabla \Psi-\Psi\nabla \Psi^*) $

導出過程

ボルンの確率解釈に従えば確率密度は$ \rho=|\Psi|^2 $であるので、連続の式に従って確率流束を求める。

$ \begin{array}{rcl} \frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf{j}&=&0\\ \nabla\cdot\mathbf{j}&=&-\frac{\partial \rho}{\partial t}\\ &=&-\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^2\\ &=&-\frac{\partial}{\partial t}(\Psi^*\Psi)\\ &=&-\Psi^*\frac{\partial}{\partial t}\Psi-\Psi\frac{\partial}{\partial t}\Psi^*\\ \end{array} $

ここで、シュレーディンガー方程式

$ i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\Psi+U\Psi $

とその複素共役

$ -i\hbar\frac{\partial \Psi^*}{\partial t}=\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\Psi^*+U\Psi^* $

を用いて、 $ \begin{array}{rcl} \nabla\cdot\mathbf{j}&=&-\Psi^*\frac{\partial}{\partial t}\Psi-\Psi\frac{\partial}{\partial t}\Psi^*\\ &=&-\Psi^*\left(\frac{i\hbar}{2m}\Delta\Psi-\frac{i}{\hbar}U\Psi\right)-\Psi\left(-\frac{i\hbar}{2m}\Delta\Psi^*+\frac{i}{\hbar}U\Psi^*\right)\\ &=&-\Psi^*\frac{i\hbar}{2m}\Delta\Psi+\frac{i}{\hbar}U\Psi^*\Psi+\Psi\frac{i\hbar}{2m}\Delta\Psi^*-\frac{i}{\hbar}U\Psi^*\Psi\\ &=&\frac{i\hbar}{2m}(\Psi\Delta\Psi^*-\Psi^*\Delta\Psi)\\ \end{array} $

ここで、ベクトル解析の公式$ \nabla\cdot(f\mathbf{F})=f\nabla\cdot\mathbf{F}+(\nabla f)\cdot\mathbf{F} $より、$ \mathbf{F}=\nabla g $とすると、

$ \begin{array}{rcl} \nabla\cdot(f\nabla g)&=&f \Delta g +(\nabla f)(\nabla g)\\ f \Delta g&=&(\nabla f)(\nabla g)-\nabla\cdot(f\nabla g)\\ \end{array} $

これより、

$ \begin{array}{rcl} \nabla\cdot\mathbf{j}&=&\frac{i\hbar}{2m}(\Psi\Delta\Psi^*-\Psi^*\Delta\Psi)\\ &=&\frac{i\hbar}{2m}((\nabla \Psi)(\nabla \Psi^*)-\nabla\cdot(\Psi\nabla \Psi^*)-(\nabla \Psi^*)(\nabla \Psi)+\nabla\cdot(\Psi^*\nabla \Psi))\\ &=&\frac{i\hbar}{2m}(\nabla\cdot(\Psi^*\nabla \Psi)-\nabla\cdot(\Psi\nabla \Psi^*))\\ &=&\nabla\cdot\left(\frac{i\hbar}{2m}(\Psi^*\nabla \Psi-\Psi\nabla \Psi^*)\right)\\ \end{array} $

これより、確率流束は

$ \mathbf{j}=\frac{i\hbar}{2m}(\Psi^*\nabla \Psi-\Psi\nabla \Psi^*) $

であることがわかった。

特に記載のない限り、コミュニティのコンテンツはCC-BY-SA ライセンスの下で利用可能です。