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とは、集合に、加法 ($ + $) と乗法 ($ \cdot $) と呼ばれるその集合上の二つの演算が備わった代数系である。を集合と一つの演算からなる順序対 $ (G,\cdot) $ として捉えることができたように、環を三つ組の順序対 $ (R,+,\cdot) $ として捉えることができる。

加法と乗法を持つ集合 $ (R,+,\cdot) $ が環であるとは、次の性質を満たすことをいう。

  1. 加法の可換性すべての $ a,b\in R $ について、$ a+b=b+a $
  2. 加法と乗法両方の結合性 — すべての $ a,b,c\in R $ について、$ (a+b)+c=a+(b+c) $ かつ $ (a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c) $
  3. 加法単位元 — すべての $ a\in R $ について $ a+0=a $ となるような、加法単位元と呼ばれる「ゼロ」の要素 $ 0\in R $存在する
  4. 加法逆元 — それぞれの $ a\in R $ について、$ a+b=0 $ となるような $ a $ の加法逆元と呼ばれる $ b\in R $ が存在する
  5. 分配法則 — すべての $ a,b,c\in R $ について、$ a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c $
  6. 加法と乗法の閉包 — すべての $ a,b\in R $ について、 $ a+b\in R $ かつ $ a\cdot b\in R $

このような構造のプロトタイプとなっているのは、整数$ (\mathbb{Z},+,\cdot) $である。

2つの元の積 $ a \cdot b $はしばしば $ ab $と略記される。 また、乗法と加法が組み合わさった表記においては、加法が括弧で囲まれていない限りは、乗法の演算が優先される。つまり、 $ a + bc + d = a + \left(bc\right) + d $といった具合である。

$ a \in R $の加法の逆元を $ -a $ と表記する. さらに, 減算と呼ばれる演算を $ a - b = a + \left(-b\right) $ で定義する.

追加の性質

上述の環の公理に加えて、環 $ R $ は次のような性質を持ちうる。

  • $ R $可換環であるとは、乗法が可換であることをいう: $ ab = ba $ (任意の $ a,b\in R $)
  • $ R $単位元を持つ環単位的環) であるとは、乗法の単位元 $ 1\in R $が存在することをいう: $ 1a=a=a1 $ (任意の $ a\in R $)
    • さらに、単位元を持つ可換環 $ R $ であるとは、0 以外の任意の元が乗法の逆元を持つことをいう: 任意の0でない元 $ a \in R $に対して, 元 $ b\in R $$ ab = ba = 1 $をみたすものが存在する. このときの $ b $ を $ a $ の逆元と呼び、 $ a^{-1} $ と表す。
  • $ R $整域であるとは、$ R $ が単位元を持つ可換環であり、次のゼロ乗算ルールをみたすことをいう: 任意の $ a,b \in R $について, $ ab = 0 $ ならば $ a = 0 $ または $ b = 0 $.

重要な結果

$ R $の公理から、 次が得られる。

  • $ \left(R,+\right) $はアーベル群である
  • $ 0a = 0 $ (任意の $ a \in R $)
  • $ a\left(-b\right) = \left(-a\right)b = -\left(ab\right) $ (任意の $ a, b \in R $)
  • $ \left(-a\right)\left(-b\right) = ab \quad $ (任意の $ a, b \in R $)
  • $ 1 $$ R $の単位元とするとき、
    • $ \left(-1\right)a = -a \quad $ (任意の $ a \in R $)
    • $ \left(-1\right)\left(-1\right) = 1 $
  • 減算の分配法則が成り立つ: $ a(b-c)=ab-ac $ (任意の $ a,b,c \in R $)

部分構造, 写像と商

例と結果

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