全順序集合

全順序集合 (Totally ordered set) とは、半順序集合の条件に全順序律（比較可能; comparability condition) の条件を加えた集合である。すなわち、集合 $X$ に対して、次の条件をみたす順序関係 $\le$ が定められるとき、順序関係 $\le$ は集合$X$ 上の全順序であると言う。そして、このような集合と順序関係をセットにして全順序集合と言う。

1. $X$ の任意の元 $a$ に対して、$a \le a$（反射律）
2. $x \le y$ かつ $y \le z$ ならば $x \le z$。（推移律）
3. $x \le y$ かつ $y \leq x$ ならば $x = y$。（反対称律）
4. $X$ の任意の元 $x, y$ に対して、$x \le y$ または $y \leq x$ のいずれか（両方でもよい）が必ず成り立つ。（全順序律）