ゲルフォント=シュナイダーの定理 (ゲルフォント=シュナイダーのていり、英: Gel'fond-Schneider's theorem) は、指数関数の値の超越性に関する定理である。1934年に、アレクサンダー・ゲルフォントとテオドール・シュナイダー によって、それぞれ独立に証明された。
定理の主張[]
α を 0, 1 以外の代数的数、β を有理数ではない代数的数としたとき、 は、超越数である。
系[]
- 系1
- を 0, 1 以外の代数的数とする。 は、有理数であるか超越数である。
- 系2
- を 0 以外の代数的数とする。もし、 が有理数体上線形独立であるならば、 である。
例[]
ゲルフォント=シュナイダーの定理を用いて、以下の数が超越数であることが示される。
- 。これはゲルフォント=シュナイダーの定数とよばれる。
- 。
- 。これはゲルフォントの定数とよばれる。
- 有理数ではない代数的数 に対する、, , 。
- が有理数ではない代数的数 に対する、, , 。
- 乗法的独立[1]である、0, 1 ではない代数的数 に対する、 。
歴史[]
ヒルベルトは、1900年にパリで行われた国際数学者会議において、ヒルベルトの23の問題と呼ばれる23個の問題のうち、7番目の問題として、「a が 0 でも 1 でもない代数的数で、b が代数的無理数であるとき、ab は超越数であるか」を提出した。
その後、1929年に、ゲルフォントによって、β が虚二次体の場合に、 が超越数であることを証明し、例えば、 が超越数であることを示した。
その直後、ゲルフォントの方法を元にして、ジーゲル (C. L. Siegel) は、β が実二次体の場合に成り立つことを示したが、発表はされなかった。翌年(1930年)、クズミン (R. O. Kuz'min) は、ゲルフォントの方法に基づいて、同じ結果を発表した。
1934年に、ゲルフォントとシュナイダーがそれぞれ独立に、β が一般の代数的数の場合に成り立つことを証明した。 この結果、ヒルベルトの第7問題が肯定的に証明された。 ヒルベルトは、第7問題は大変難しい問題であり、リーマン予想の方が早く解決するのではないかと思っていたが、10年余りで証明されたことを聞いて、大変驚いたという。
ゲルフォント=シュナイダーの定理より、2つの代数的数の対数が有理数体上線形独立であれば、代数的数体上線形独立となるが(系2)、この結果を 2以上の対数に拡張したものが、アラン・ベイカーによって、1966年に発表された(ベイカーの定理を参照)。
脚注[]
- ↑ 整数 に対して、 ならば、 が成り立つとき、 は、乗法的独立であるという。
関連項目[]
- ヒルベルトの23の問題
- ベイカーの定理
- 超越数
参考文献[]
- 杉浦, 光夫編 『ヒルベルト23の問題』 日本評論社、東京、1997年。
- 塩川, 宇賢 『無理数と超越数』 森北出版、東京、1999年。
- I., Niven (1956). Irrational numbers, The Carus Math. Monog.. Washington: Math. Assoc. of America.