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La distributivité sert à développer, sous certaines conditions, des identités remarquables ou encore des expressions tel que $ a(b+c) $, ou $ (a+b)(c+d) $ (où $ a,b,c $ et $ d $ sont quatre nombres donnés).

Omission du signe multiplication

Loupe Pour plus de détails, voir : calcul littéral

Au lieu d'écrire $ 5 \times a $ où a est un nombre donnée, on peut écrire $ 5a $.

Développer $ a(b+c) $

En cinquième, on voit le développement de $ a(b+c) $ ou encore $ a(b-c) $. La multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction. On peut donc écrire tout naturellement $ a(b+c) $ sans préciser que cela soit une multiplication.

Le développement de $ a(b+c) $ est $ ab+ac $.

De même que pour $ a(b-c) $ qui donne cette fois-ci : $ ab-ac $.

Exemple

Soit $ A=5(3x+2) $ et $ B=4(5x-2) $

Développer A et B.


Développer $ (a+b)(c+d) $

Le développement de $ (a+b)(c+d) $ donne $ ac+ad+bc+bd $.

Exemple

Soit $ C=(3x+2)(5x-6) $.

Développer et réduire C (Ici, réduire veut dire avoir l'expression la plus simple possible).


Développer $ a(b(c+d)) $

Soit quatres termes $ a, b, c $ et $ d $. On veut développer une expression du type $ a(b(c+d) $. On peut procéder de deux manières pour développer cette expression.

Première étape

  • Il suffit de développer l'expression $ b(c+d) $. Cela donne donc $ b(c+d)=bc+bd $
  • Ensuite, il faut encore développer la parenthèse devant le $ a $ car on a maintenant : $ a(bc+bd) $
  • $ a(bc+cd)=abc+abd $

Seconde étape

  • Devélopper $ a(b) $.
  • On a donc : $ a(b(c+d))=ab(c+d) $
  • On développe l'expression $ ab(c+d)=abc+abd $

Exemple

Soit $ P=3x(2(5x+4)) $.

Développer et réduire P.


Méthode pour ne pas se tromper dans son développement

Pour ne pas se tromper dans son développement, on peut utiliser des flèches qui relient chaque terme.

Par exemple, si on a une expression du type $ (a+b)(c+d) $, on peut faire quatre flèches, une partant de $ a $ vers $ c $, une autre partant de $ a $ vers $ d $, une autre partant de b vers c, une autre partant de $ b $ vers $ d $.

Fléches développement

Différence entre distributivité et factorisation

$ \begin{matrix}developper \\ \longrightarrow \, \longrightarrow \, \longrightarrow \\ (a+b)(c+d)=ac+bc+bd+ad \\ \longleftarrow\, \longleftarrow \, \longleftarrow\\ factoriser \end{matrix} $

Identités remarquables

Loupe Pour plus de détails, voir : Identités remarquables

Les identités remarquables à retenir :
$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $
$ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $
$ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $

Exercice

Exercice 1

D'après Brevet groupement nord $ 2006 $

Difficulté : 2stars

Enoncé
Soit $ D=(2x+3)^2+(2x+3)(7x-2) $

Questions
1 - Développer et réduire D.
2 - Factoriser D. ((Voir aussi : factorisation)
3 - Calculer D pour $ x = -4 $.
4 - Résoudre l'équation $ (2x+3)(9x+1)=0 $ (Voir aussi : équation)


Exercice 2

Développer et réduire $ F=16-(x-3)+(y-5)+x+4(3-x)-(x-4) $

$ G=4-4a(5-3a)-2+6a(3-2a) $

$ J=-(x+1)(2x-1) $

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